Resumen
El
presente artículo trata de la simulación para situar un robot móvil diferencial
en un punto de referencia sin orientación basado en leyes de Lyapunov. Para lo
cual se ha considerado un ambiente de trabajo estructurado, donde la
herramienta principal es el software matemático Matlab, mismo que se es el
protagonista dentro de la simulación del robot móvil diferencial. Como punto de
partida se ha procedido a realizar cálculos cinemáticos y dinámicos, siendo una
de las partes fundamentales de esta investigación para comprender el
comportamiento dentro de la simulación del robot. El manejo de los
controladores en este trabajo es una parte importante debido a que los mismos
se ha encargado de brindar un ajuste detallado a los cálculos realizados para
la simulación del robot móvil. Los parámetros de los controladores se los ha
desarrollado mediante un conjunto de funciones descritas en el entorno de
Matlab.
Palabras
Clave: Robot móvil; Simulación; Matlab; Leyer de
Lyapunov; Cálculo cinemático; Cálculo dinámico; Controlador.
Abstract
This
article deals with the simulation to locate a differential mobile robot in a
reference point based on Lyapunov laws. For that, a structured working
environment has been considered, from which the main tool is the Matlab
mathematical software, which is the protagonist within the simulation of the
differential mobile robot. As a starting point, cinematic and dynamic
calculations have been carried out, being one of the fundamental parts of this
investigation to understand the behavior within the robot simulation. The
management of the controllers in this work is an important part due to the fact
that the monks have been responsible for providing a detailed adjustment to the
calculations made for the simulation of the mobile robot. The parameters of the
controllers have been developed using a set of functions described around
Matlab.
Keywords: Mobile robot; Simulation;
Matlab; Lyapunov's Leyer; Cinematic calculation; Dynamic calculation;
Controller.
Resumo
O
presente artigo trata da simulação para situar um robô móvel diferencial em um
ponto de referência sem orientação baseado em leyes de Lyapunov. Para que cual
seja considerado um ambiente de trabalho estruturado, faça o herramienta
principal é o software matemático Matlab, mismo que é o protagonista dentro da
simulação do robô móvel diferencial. Como ponto de partida se há procedido para
realizar cálculos cinemáticos e dinâmicos, siendo una de las partes
fundamentales de esta investigação para comprender el comportamiento dentro de
la simulación del robot. O manejo de los drivers neste trabalho é uma parte
importante debido a que los mismos se encargado de brindar um ajuste detalhado
e los cálculos realizados para a simulação do robô móvil. Os parâmetros dos
drivers são desarrollados mediante um conjunto de funções efetuadas no entorno
de Matlab.
Palabras
Clave: Robot móvil; Simulación; Matlab; Leyer de Lyapunov; Cálculo
cinemático; Cálculo dinámico; Controlador.
Introducción
Los
robots móviles a menudo se hallan en escenarios en las que tienen que
trasladarse de un punto a otro enfrentando los inconvenientes del entorno como
son los obstáculos y las limitaciones de su capacidad. (Bruce & Veloso,
2002).
A
menudo los métodos de control de movimiento requieren altos costes
computacionales y errores numéricos que lo hacen inadecuados para aplicaciones
en tiempo real. (Frazzoli, Dahleh, & Feron, 2005).
Los
métodos de planificación para rutas, se desarrollan continuamente para
problemas cada vez más desafiantes y con costos computacionales más bajos,
todas las investigaciones apuntan a lograr mecanismos móviles autónomos, este
objetivo es posible lograrlo con el uso de métodos reactivos que permiten al
robot interactuar con el entorno de trabajo.
El
problema básico de un robot móvil con ruedas está enfocado en encontrar el
camino de un punto inicial a un punto final, evadiendo obstáculos que se
presentan en el ambiente de trabajo.
La
propuesta contempla en un algoritmo matemático para un robot móvil diferencial
desde un punto de partida hacia un punto de llegada, en un ambiente
estructurado con control de posición sin orientación.
Diseño
del sistema
Diseño
de sistemas de control no lineal: usando Lyapunov
La
teoría de estabilidad de Lyapunov es una herramienta estándar y una de las más
importantes en el análisis de sistemas no lineales, además permite analizar la
estabilidad de un sistema de control y puede ser aplicada como una estrategia
para el diseño de controladores, el objetivo de este método es encontrar una
función candidata de Lyapunov, cumpliendo con ciertas condiciones asegurando
así la estabilidad de los puntos de equilibrio.
Sistema
estable
La
presente investigación es de tipo cuantitativa, debido a que se fundamenta en
una valoración numérica del software, tanto desde la perspectiva de los
usuarios, así como una valoración técnica de las características del producto
con base en los resultados brindados por dos herramientas de testeo (WebPagetest
y MatchMetrics), de las cuales se tomaron en cuenta únicamente los parámetros
determinados por la norma ISO/IEC 25010, todo esto como un estudio de campo.
Posteriormente, se utilizó la investigación descriptiva para detallar los
hallazgos (potencialidades y deficiencias) del software y las conclusiones del
estudio.
La
función principal de Lyapunov V(x) es una función de estados x que cumple con
las siguientes condiciones.
1. V(x)
es continua y sus derivadas parciales son continuas
Función
definida positiva
2. V(x)
= 0 para x = 0
3. V(x)
> 0 para x ≠ 0
Función
semi-definida negativa
4. (dV(x))/dt=0
para x=0
5. (dV(x))/dt
≤0
para x ≠0
Las
condiciones son fundamentales para que el sistema de control sea considerado un
sistema estable. De esta manera se utilizó la teoría de Lyapunov para realizar
algoritmos de control, por lo tanto, los estados x serán los errores, y los
puntos de equilibrio que van serán el origen, es decir el punto cero, esto
debido a que el objetivo del control es llegar a que el error del mismo vaya
hacia cero de esta manera las condiciones para que el sistema sea estable son
las siguientes:
1. La
función candidata de Lyapunov y sus derivadas parciales debe ser continua.
2.
La función candidata de Lyapunov debe ser
igual a cero solo para x igual a cero
3.
La función debe ser mayor a cero solo para
valores diferentes de cero
4.
La derivada de la función candidata de
Lyapunov debe ser igual a cero para x igual a cero.
5.
La derivada de la función candidata de
Lyapunov debe ser menor igual a cero para x diferente de cero.
6.
V(x) es continua y sus derivadas parciales
son continuas
7.
Función definida positiva
8.
V(x) = 0 para x = 0
9.
V(x) > 0 para x ≠
0
10. Función
semi-definida negativa
Metodología
Diseño
de sistemas de control no lineal basados en el modelo
Las
consideraciones para el diseño del controlador no lineal basado en el modelo e
implementado la teoría de Lyapunov son las siguientes:
·
Dado un sistema físico (modelo matemático
y sus restricciones) y su comportamiento deseado, el objetivo obtener una ley
de control de modo que el sistema realimentado se comporte como se desea.
·
Si las tareas del sistema de control
involucran gran cantidad de las variables o alta velocidad, muy probablemente
deba recurrirse a un diseño de control no lineal al fin de alcanzar las especificaciones.
Los
robos móviles diferencial cuenta con dos pares de ruedas: esto quiere decir dos
ruedas de tracción que tienen acoplados dos motores DC, y dos ruedas
estabilizadas que mantienen el balance del vehicúlalo (figura 1).
Figura 1-3:
robot móvil diferencial.
La
traslación y rotación de este tipo de plataformas diferenciales se determina
por el movimiento independiente de cada una de las ruedas de tracción.
Para
proceder al cálculo cinemático se trazó el sistema de referencia, en este caso
en el palo x, y. A continuación, se inserta el robot móvil diferencial en una
posición diferente a la del origen x1, y1 figura 2.
Figura 2-3:
calculo cinemático.
Datos:
φ
orientación
μ_(l
)velocidad lineal de la llanta derecha
μ_(r
)velocidad lineal de la llanta izquierda
h(x,y)
posición del robot en el punto de control en este caso es en el centro del eje
de las ruedas.
Sabiendo
que el punto de control es el punto de interés para conocer la posición.
El
sistema total del robot tendrá una velocidad lineal que permita al robot
moverse hacia delante y hacia atrás.
La
velocidad angular μ que permite que el robot gire en sentido horario y en
sentido antihorario.
Modelo
Cinemático de un robot móvil diferencial
Como
se puede observar en la figura 2-3 el robot se ha desplazado:
Si
se deriva la posición se obtiene la velocidad, Por consiguiente, la velocidad
se va a descomponer en el eje (x,y) por lo tanto se tendrá que la velocidad en
el punto x será igual a la velocidad lineal.
Ecuación
1
Ecuación
2
y
la derivada de la orientación da como resultado la velocidad angular ω.
φ ̇= ω
Ecuación 3
La
velocidad total del sistema será el promedio de la velocidad de la llanta
derecha μ_r mas promedio de la velocidad de la llanta izquierda.
μ=
(μ_r+μ_l)/2
Ecuación 4
La velocidad angular se relaciona
con la velocidad lineal de la llanta derecha menos la velocidad angular de la
llanta izquierda por una distancia 
.
es la distancia entre
las ruedas
Ecuación
5
Una vez que se tenga
planteadas las ecuaciones, se puede remplazar la ecuación 3 en la ecuación 1 y
en la ecuación 2
Ecuación
6
Diseño
de controladores
Suponiendo
que al robot móvil se le asigna una trayectoria de movimiento h(t) al punto de
interés en términos de h ̇(t) y sus condiciones iniciales de posición y
orientación, determinando un conjunto de velocidades q ̇(t) que reduzca la
trayectoria dada. Se considera un sistema que tenga el mismo número de
ecuaciones que incógnitas que m=n, las velocidades de los actuadores se pueden
obtener mediante la inversión de la matriz jacobiana.
Ecuación 10
velocidades de los
actuadores
matriz inversa
Jacobiano
velocidades en el punto
de interés
Sin embargo, las
velocidades 
en
tiempo discreto no coinciden con la 
velocidades
en tiempo continuo, este inconveniente se puede supera a un esquema de solución
que tenga en cuenta el ERROR entre la posición y orientación del
punto de interés deseado y real.
Ecuación 11
error
velocidad de la
trayectoria deseada
punto real
Sí se aplica la deriva al error:
Despejando 
Ecuación 12
Las velocidades de los
actuadores son:
Ecuación 13
Control de
posición sin orientación
El control de posición
consiste en ubicar al robot en un punto de referencia deseado con o sin una
orientación deseada figura 3-3
Figura 3-3:
calculo cinemático.
Partiendo
de la ecuación 13, en este caso 
la
trayectoria deseada será constante porque solo se va a posicionar en un punto al
robot, por lo tanto, la constante a lo largo del tiempo es la misma.
De
esta manera la derivada de la contante es 
Por
lo tanto, se obtiene que la velocidad de los actuadores:
Ecuación 14
Estabilidad
de Lyapunov
El
objetivo de aplicar la estabilidad de Lyapunov es asegurar que el controlador
sea asintóticamente estable.
Para
el análisis de estabilidad se asume el seguimiento perfecto de velocidades.
Ecuación 15
Donde la velocidad de
referencia (controlador) serám iguales a las velocidades de lectura que tienen
el robot diferencial.
Considerando la función
candidata de Lyapunov.
Ecuación 16
Ecuación 17
Ecuación 18
La
función candidata de Lyapunov debe cumplir los términos asintóticamente
estables antes mencionados.
1. 
la
función candidata debe ser continua si cumple.
2. Función
definida es positiva cumple con la condición
3. Para
el análisis de la derivada se debe asegurar que la derivada sea definida
negativa, en este caso no se utilizara la derivada del error en algoritmo de
control (ecuación 17) de esta manera se utilizara la ecuación 18 en la cual se
asume que 
de
esta manera se obtiene la ecuación:
Donde,
es
una matriz definida positiva (generalmente diagonal) para que el sistema sea
asintóticamente estable se obtiene:
Ecuación 19
En
las cuales las velocidades de referencia que se aplicará a los actuadores son
iguales a la inversa de la matriz jacobiana por una matriz diagonal
definida positiva por el error.
Con
esto se desarrolla el algoritmo de control a implementarse en Matlab.
Emulación
del robot móvil diferencial
Para
proceder a realizar la simulación del robot primero se creó dos archivos.
• MobilPlot.m
• MobileRobot.m
En
el archivo MobilRobot.m se almacenarán todos los parámetros del robot en el
cual se encuentran las dimensione del mismo, tamaño de las llantas, colores
etc.
Figura
4-3: archivo de Matlab MobilPlto.m
Y
el archivo MobilPlot.m permitirá dibujar al robot en
la posición de 
y
con
una orientación phi, para esto se utilizó matrices de traslación y de rotación
figura 5-3
Figura 5-3:
matrices de rotación
Figura 6-3:
matrices de traslación
Implementación
del Controlador en Matlab
Para
la implementación del controlador en Matlab se calculó el error con el
siguiente código:
>> hxe(k) =
hxd - hx(k);
>> hye(k) =
hyd - hy(k);
>> he =
[hxe(k) hye(k)]';
Establecida
en la ecuación 11, donde hxe y hye son las posiciones son las posiciones reales
del robot.
Lugo
se generó la matriz jacobiana para la simulación:
J11
= cos(phi(k));
J12
= -a*sin(phi(k));
J21
= sin(phi(k));
J22
= a*cos(phi(k));
J=
[J11 J12;... J21 J22];
El
parámetro de control a utilizar es matriz diagonal definida positiva:
K
= [0.3 0;...0 0.3];
Luego
se insertó la ley de control hallada en la ecuación 19.
qpref =
pinv(J)*(K*tanh(he));
Para
obtener la inversa de la matriz jacobiana se utilizó la función pinv propia de
Matlab, obteniendo las velocidades de referencia que se aplicara al robot
diferencial.
Se
separó las acciones de control en velocidad lineal y angular.
>>
uRef(k) = qpref(1);% velocida lineal
>>
wRef(k) = qpref(2);%velocidad angúlar
Aplicar acciones de control al robot móvil
simulado
Se
calculó la orientación real del siguiente instante de muestreo utilizando las
acciones de control que se obtuvo en el modelo.
1. Robot
simulado (modelo cinemático)
>>
phi(k+1)=phi(k)+ts*wRef(k);% orientación real en radianes
>>
x1p=uRef(k)*cos(phi(k+1)); % velocidad real en metros / segundos
>>
y1p=uRef(k)*sin(phi(k+1)); % velocidad real en metros / segundos
Con
el método de Euler se halló las posiciones en los siguientes instantes de
muestreo del eje central de las ruedas, considerando que no es el punto de
interés o el punto de control que se calcula para dibujar el robot en el cual
el robot debe ingresar la posición central en el eje de las ruedas
2. Integral
numérica (método de Euler)
>>
x1(k+1)=x1(k)+ts*x1p; % posición real del centro (eje x) en metros (m)
>>
y1(k+1)=y1(k)+ts*y1p; % posición real del centro (eje y) en metros (m)
Se
calculó el punto de interés donde hx y hy nuestros puntos de control o interés.
3. modelo
geométrico
>>hx(k+1)=x1(k+1)+a*cos(phi(k+1));
% posición de interés real (eje x) en metros (m)
>>hy(k+1)=y1(k+1)+a*sin(phi(k+1));
% posición de interés real (eje y) en metros (m)
Resultados,
discusión y análisis
Una
vez terminado el programa de Matlab se procedió a modificar los valores para
obtener los resultados del modelo matemático implementado.
Validación
del modelo
Para
la validación del modelo se ejecutó la programación en el software de Matlab
para esto se ingresó los parámetros de su posición inicial.
>>
hxd = -3;
>>
hyd = 3;
Figura
7-4: simulación del robot móvil desde la
posición inicial a su posición final sin considerar su orientación.
Al realizar la simulación se observó que
el robot se aproximan al punto desea (3;-3).
Figura
8-4: velocidad lineal
Como
se puede observar en la figura la velocidad lineal es de 0.41 m/s luego va
decreciendo hasta llegar a 0 m/s
Figura 9-4:
velocidad angular
La
velocidad angular se dispara alcanzando los 4 rd/seg y luego se estabiliza.
Figura 10 -4:
errores h_x y h_y
Como
se puede evidenciar en la figura 3-4 los errores convergen a cero.
Realizando
el cambio del parámetro de nuestras condiciones iniciales.
>>
hxd = 4.5;
>>
hyd = 2.8:
Figura 11-4:
simulación del robot móvil desde la posición inicial a su posición final
(4.5:2.8) sin considerar su orientación.
Figura 13 -4:
errores h_x y h_y
Como
se puede observar en la figura 11-4 el robot se dirige a la posición deseada y
su error tienden a cero con esto se logró verificar que el controlador está
funcionando correctamente.
Pruebas
de comportamiento
Las
pruebas para verificar el comportamiento del controlador se las detalla a
continuación, para lo cual es importante mencionar que el valor de k
correspondiente a una constante fue tomando distintos valores. Como se mencionó
en los cálculos, la constante debería ser positiva de esta manera se modificó
para obtener un control.
K
= [1.3 0;...0 1.3];
Figura 3-8:
simulación del robot móvil
Como podemos observar en la figura el robot se
traslada bruscamente
Figura 14-4:
acciones de control
En
las acciones de control se puede observar que existe un cambio brusco en su
velocidad angular asta estabilizarse.
Figura 14-4: errores
Se
puede observar que los errores decrecen más rápido a cero, pero sin embargo
existen variaciones, hay que mencionar que le robot no va alcanzar estas
velocidades mayores a 0.5.
Conclusiones
·
Para establecer las pruebas reales no
sobrepasar 1 la constante K por movimientos bruscos del robot.
·
El cálculo cinemático encontrado es
eficiente par que el robot móvil diferencial con control deposición sin orientación
llegue al punto deseado
·
El controlador implementado ha permitido
que los errores se establezcan en cero dando como resultado la ubicación deseada
con exactitud de 0.001.
·
El modelo cinemático considera las
velocidades, posición del robot móvil, sin tomar en cuenta los efectos de las
fuerzas e inercias productos de la masa del robot, este modelo cinemático sirve
para la implementación de un esquema de control de seguimiento de caminos
·
El controlador cinemático propuesto para
el robot móvil diferencial tiene como variable de control la velocidad lineal y
angular del robot móvil, este controlador garantiza la estabilidad mediante el
criterio de Lyapunov, demostrando que los errores de posición convergen a cero
cuando el tiempo tiende al infinito.
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