Los fractales y su relación con la computación. Una revisión documental

 

Fractals and their relationship with computing. A documentary review

 

Os Fractais e a sua relação com a computação. Uma revisão documental

 

Bladimir Enrique Urgiles-Rodríguez ^I

bladimir.urgiles@espoch.edu.ec

https://orcid.org/0000-0002-9734-7814

                 

Byron Ernesto Vaca-Barahona ^II

byron.vaca@espoch.edu.ec

https://orcid.org/0000-0002-3622-0668

 

Katherine Gissel Tixi-Gallegos ^III

katherine.tixi@espoch.edu.ec

https://orcid.org/0000-0002-7545-9671

 

Alex Fernando Erazo-Luzuriaga ^IV

alexerazo1407@hotmail.com

https://orcid.org/0000-0002-1089-383X

 

Marco Javier Cárdenas-Villamar ^V

mc.designing@hotmail.com

https://orcid.org/0000-0002-9194-5805

 

Correspondencia: bladimir.urgiles@espoch.edu.ec

 

Ciencias técnicas y aplicadas

Artículo de investigación

                                                                              

*Recibido: 19 de enero de 2020 *Aceptado: 31 de marzo de 2020 * Publicado: 26 de abril de 2020

 

         I.            Máster Universitario en Ingeniería Matemática y Computación, Ingeniero en Sistemas Informáticos, Docente de la Escuela Superior Politécnica de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.

       II.            Diplomado en Manejo de Información a Través de Internet, Máster Universitario en Seguridad Informática y Sistemas Inteligentes, Máster Universitario en Tecnología Educativa: E-Learning y Gestión de Conocimiento, Ingeniero en Sistemas, Docente de la Escuela Superior Politécnica de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.

      III.            Máster Universitario en Ingeniería Matemática y Computación, Ingeniera en Sistemas Informáticos, Docente de la Escuela Superior Politécnica de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.

     IV.            Ingeniero en Sistemas Informáticos, Investigador Independiente, Ecuador.

       V.            Licenciado en Diseño Gráfico, Investigador Independiente, Ecuador.

 

 

Resumen

El desarrollo de la computación y las matemáticas han permitido suscitar estudios interesantes y aplicar la geometría fractal en varias ciencias como la Anatomía, Medicina, el Arte y la Geología. Los fractales han facilitado la descripción de topografías, perfiles costeros y estructuras biológicas. En la actualidad la informática permite realizar estudios multifractales y análisis de imágenes. En este artículo se presenta una revisión documental acerca de los fractales y su relación con la computación. Desde el punto de vista teórico parte de autores clásicos como Mandelbrot, (1963/1977), Geake y Landini, (1997) y autores contemporáneos como Lesmoir-Gordon, (2012), entre otros. Desde el punto de vista metodológico se realizó una revisión sucinta de artículos científicos publicados en revistas científicas de prestigio que hacen referencia a este tema. En este sentido, se procuró revisar material bibliográfico que refiera los principales avances a este respecto. Entre los resultados del análisis documental de contenido destaca que las estructuras fractales y la computación hoy en día son una unidad dialéctica que ha permitido avances en diferentes ámbitos científicos, como en la Geología, en la Medicina, entre otros. De allí que se concluya que El análisis fractal está presente de manera recurrente en la naturaleza y el desarrollo de los métodos matemáticos e informáticos ha permitido su aplicación en varios campos de la ciencia como la medicina, geología, anatomía humana, etc., para caracterizar distintos fenómenos y profundizar en su estudio.

Palabras claves: Ciencias; matemáticas; formas irregulares; computación; geociencia.

Abstract

The development of computation and mathematics have allowed for interesting studies and the application of fractal geometry in various sciences such as Anatomy, Medicine, Art and Geology. Fractals have facilitated the description of topographies, coastal profiles, and biological structures. Currently, computer science allows multifractal studies and image analysis. This article presents a documentary review about fractals and their relationship with computing. From a theoretical point of view, it starts from classic authors such as Mandelbrot, (1963/1977), Geake and Landini, (1997) and contemporary authors such as Lesmoir-Gordon, (2012), among others. From a methodological point of view, a succinct review of scientific articles published in prestigious scientific journals that refer to this topic was carried out. In this sense, an effort was made to review bibliographic material that refers to the main advances in this regard. Among the results of the documentary analysis of content, it stands out that fractal structures and computing today are a dialectical unit that has allowed advances in different scientific fields, such as Geology, Medicine, among others. Hence, it is concluded that fractal analysis is present recurrently in nature and the development of mathematical and computer methods has allowed its application in various fields of science such as medicine, geology, human anatomy, etc., to characterize different phenomena and deepen their study.

Keywords: Sciences; mathematics; irregular shapes; computation; geoscience.

 

Resumo

O desenvolvimento da computação e da matemática permitiu despertar estudos interessantes e aplicar geometria fractal em várias ciências como Anatomia, Medicina, Arte e Geologia. Fractais facilitaram a descrição de topografias, perfis costeiros e estruturas biológicas. Atualmente, a computação permite estudos multi-digitais e análise de imagem. Este artigo apresenta uma revisão documental dos fractais e da sua relação com a computação. Do ponto de vista teórico, parte de autores clássicos como Mandelbrot, (1963/1977), Geake e Landini, (1997) e autores contemporâneos como Lesmoir-Gordon, (2012), entre outros. Do ponto de vista metodológico, foi realizada uma revisão sucinta de artigos científicos publicados em prestigiadas revistas científicas referidas a este tema. A este respeito, foram realizados trabalhos de revisão do material bibliográfico sobre os principais desenvolvimentos a este respeito. Entre os resultados da análise documental do conteúdo destaca-se que as estruturas fractais e a computação hoje em dia são uma unidade dialética que tem permitido avanços em diferentes áreas científicas, como a geologia, a medicina, entre outros. Conclui-se, portanto, que a análise fractal está presente numa base recorrente na natureza e desenvolvimento de métodos matemáticos e informáticos que permitiram a sua aplicação em vários domínios da ciência, como a medicina, a geologia, a anatomia humana, etc., caracterizar diferentes fenómenos e aprofundar o seu estudo.

Palavras-chave: Ciência; matemática; formas irregulares; computação; geociência.

 

Introducción

Para comprender los fractales y su utilidad es importante considerar que los objetos elaborados por la mano del hombre se caracterizan por la suavidad de sus formas, sin embargo, las formas naturales están determinadas por la irregularidad y rugosidad (Mandelbrot, 1977). Los fractales son estructuras que mantienen su forma sin importar la distancia o escala desde la que se las analice. El presente trabajo consiste en una revisión sobre los fractales y su aplicación, así como las técnicas computacionales que los sustentan. Si bien este es un tema muy amplio, esta revisión apunta a dar una visión general sobre este tema, abordando las distintas aplicaciones en las Ciencias Médicas, Geológicas y Ciencias Naturales en general, así como los procesos computacionales que están detrás de su análisis.

 

Materiales y Métodos

Para la conformación del contenido de este trabajo se realizó una revisión sucinta de artículos científicos publicados en revistas científicas de prestigio que hacen referencia a este tema. En este sentido, se procuró revisar material bibliográfico que refiera los principales avances a este respecto.

Fundamentos teóricos básicos de partida

Benoit Mandelbrot en 1960 llamó “fractales” a los objetos cuya geometría compleja no puede ser caracterizada por una dimensión integral. Este fue el primer paso para realizar una descripción de formas irregulares y fragmentadas presentes en la naturaleza (Mandelbrot, 1963). Las formas euclidianas están compuestas de líneas suaves en tanto que en la naturaleza muchas formas presentan similitud al compararlas en distintas escalas espaciales, lo cual se denomina geometría fractal (Mandelbrot, 1977). Una característica esencial de los objetos fractales es que sus propiedades sujetas a medición, tal es el caso de la longitud o las áreas, están en función de la escala de las medidas (Mandelbrot, 1967).

El carácter fractal de las imágenes se cuantifica mediante la dimensión fractal (D), la cual cuantifica la relación entre los modelos observados a distintas escalas de magnificación. Para las formas euclidianas, como líneas suaves, D posee un valor de 1, mientras que, en un área completamente llena, esta variable adopta un valor de 2. Para los modelos repetitivos de una línea fractal los valores de D permanecen entre 1 y 2. Para fractales descritos por un valor D cercano a 1, los modelos observados a distintas escalas se repiten en una forma que genera formas suaves esparcidas. Sin embargo, si D se acerca a un valor de 2 los modelos que se repiten generan formas intrincadas (Geake y Landini, 1997). El número de dimensiones fractales existentes es muy largo y no existe una nomenclatura totalmente común entre los matemáticos (Falconer, 1990).

Análisis y Discusión de los Resultados

Los fractales y el desarrollo de la informática

Los estudios matemáticos fueron trascendentales para describir los objetos de bordes complejos mediante sus propiedades fractales (Maling, 1968 y Hakanson, 1978). Posteriormente, en 1973 Mandelbrot empieza a desarrollar un algoritmo para describir las costas británicas tomando en cuenta los fractales (Lesmoir-Gordon, 2012). A partir de este descubrimiento con el desarrollo de microcomputadoras se empiezan a crear los primeros fractales (Lauwerier, 1991). En 1980 IBM descubre el conjunto de Mandelbrot, uno de los fractales más estudiados hasta el momento por la particularidad de sus propiedades geométricas y estructurales (Lesmoir-Gordon, 2012).

Adicionalmente, las herramientas informáticas permitieron una mayor incursión científica en lo que tiene que ver con los fractales. Dentro de esto hay varios ejemplos, como el del estudio realizado por Weibel (1991), quien propone que la geometría fractal constituye un patrón de diseño en los organismos vivos y sus órganos. Asimismo, Briggs (1992) asevera que la geometría fractal se puede encontrar tanto en el espacio exterior, como en el mundo vegetal (árboles, flores, hojas, etc.) los microorganismos y el cuerpo humano. Por otra parte, Mc Guire (1991) sostiene que las estructuras de la naturaleza poseen una complejidad que puede comprenderse con simpleza si se la traduce con la geometría fractal. Yendo más lejos se ha llegado a establecer que las unidades de construcción que conforman los organismos naturales (células, moléculas y átomos) poseen un límite en el que pierden sus propiedades fractales (Avnir y Farin, 1984). Sin embargo, hasta que ese límite sea alcanzado, el análisis de geometría fractal ofrece la mejor descripción relacionada con sus dimensiones (longitud, área y volumen) (Cross y Cotton, 1992).

El desarrollo de los sistemas informáticos ha permitido avances en el estudio de agregados fractales tal es el caso de partículas que se juntan en líquidos, gases y sólidos con determinados patrones estructurales. A pesar de que la formación de estructuras fractales por modelos computacionales no se encuentra todavía lo suficientemente entendida, estos modelos permiten comprender una gran variedad de experimentos. A partir de 1980 los avances en la tecnología informática y los conceptos de geometría fractal permitieron desarrollar modelos teóricos e informáticos avanzados (Meakin, 1998).

 

 

Geociencia

Mark y Aronson (1984) tomaron algunas muestras de patrones topográficos, encontrando que las superficies son similares y la dimensión fractal persistía en varias escalas. Sin embargo, según Goodchild (1982) esto no se vincula directamente con los procesos geomorfológicos. La aplicación de fractales en las geociencias cobra cada vez más aceptación. Una prueba de esto es el programa FRACEK que fue diseñado para caracterizar los movimientos de masa con base en la dimensión fractal, la longitud y su ancho, encontrándose una correlación entre la dimensión fractal y cociente de estas dos variables (Ancho/Longitud) (Sezer, 2010).

Medicina

Muchos de los estudios sobre estructuras celulares se han basado en geometría fractal. Keough et al. (1991) demostraron que la membrana superficial de varios tipos de células posee estructura fractal. Losa et al. (1991) midieron la dimensión fractal de la membrana celular de los linfocitos. Estas imágenes se digitalizaron en sistemas informáticos y quedaron similares a distintas escalas, pudiendo utilizarse este recurso para identificar sus individualidades en sus caracterìsticas. Por otra parte, la interpretación de imágenes médicas comprende un conjunto de pasos para detectar posibles anormalidades que pueden causar afectación a las personas, lo cual se logra primeramente mediante la percepción de modelos singulares de imagen. Esto se complementa con el establecimiento de una relación entre los modelos detectados y los posibles diagnósticos que se puedan deducir a partir de ellos. Asimismo, un factor de suma importancia es la textura, pues el análisis de geometría fractal provee pautas determinantes respecto a la profundidad escénica y la orientación de la superficie (Tourassi, 1999). De acuerdo a Pratt et al. (1978), la complejidad espacial puede ser descrita tomando en cuenta aspectos relacionados con la textura. Todos estos avances en el desarrollo de algoritmos establecidos a partir de las dimensiones texturales han permitido extraer información significativa para la realización de diagnósticos con varias modalidades de imagen, como radiografías de pecho, tórax, mamografías, ultrasonido, tomografía computarizada, tomografía computarizada de una única emisión de fotones, entre otras. Asimismo, la medida de la dimensión fractal computarizada puede ayudar a determinar la heterogeneidad y establecer si hay expansión en tejidos difíciles de diferenciar a simple vista como tumores del seno y próstata. Esto permite detectar cualquier anomalía en su dispersión.

Desde este marco referencial se presenta la tabla Nº 1, que incluye los hallazgos de estos autores con sus respectivos análisis, que da cuenta de la revisión documental realizada, en el marco de este tópico temático, como se inserta a renglón seguido:

 

Tabla Nº 1. Análisis documental-bibliográfico de contenido según autores, año y publicación

Fuente: Revisión documental de trabajos de los autores. Elaboración: propia.

 

Conclusión

El análisis fractal está presente de manera recurrente en la naturaleza y el desarrollo de los métodos matemáticos e informáticos ha permitido su aplicación en varios campos de la ciencia como la medicina, geología, anatomía humana, etc., para caracterizar distintos fenómenos y profundizar en su estudio. Este desarrollo ha llegado a tal punto que, mediante la computación se puede llegar a realizar análisis multifractales, es decir medir varias dimensiones fractales a distintas magnificaciones, como indican Pietgen et al. (1992). Finalmente, la computación ha facilitado realizar cosas que antes eran muy difíciles de imaginar, como el trabajo realizado por FeiPeng et al. (2017), que permitió discriminar mediante un análisis de fractales imágenes naturales y artificiales. Será interesante ver los avances que se presentan en este campo en los años posteriores. Hoy en día el arte también se sustenta en los fractales, pues se han realizado estudios para determinar qué tipo de fractales son más agradables para la percepción humana de la estética mediante fractales reproducidos por computadora en superficies planas (Asks y Sprot, 1996).

 

 

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