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Breve an�lisis de las ecuaciones diferenciales con retardo

 

Brief discussion of differential equations with delay

 

Breve discuss�o de equa��es diferenciais com atraso

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Correspondencia: bladimir.urgiles@espoch.edu.ec

 

 

Ciencias T�cnicas y Aplicadas ���

Art�culo de Investigaci�n

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* Recibido: 23 de abril de 2022 *Aceptado: 12 de mayo de 2022 * Publicado: 21 de junio de 2022

 

 

1. Docente de la Carrera de Administraci�n de Empresas, Escuela Superior Polit�cnica de Chimborazo, Ecuador.
2. Docente de la Facultad de Ciencias, Ingenier�a Qu�mica, Escuela Superior Polit�cnica de Chimborazo, Ecuador.
3. Docente de la carrera de Administraci�n de Empresas, Escuela Superior Polit�cnica de Chimborazo, Ecuador.
4. T�cnicos Docente del Centro de Idiomas, Escuela Superior Polit�cnica de Chimborazo, Ecuador.

Resumen

El objetivo de la presente investigaci�n, fue realizar un breve an�lisis de las ecuaciones diferenciales con retardo, ya que son aplicadas en muchas situaciones en las que la modelizaci�n de problemas considera plantear un sistema de ecuaciones diferenciales con retorno. Para ello, se realiz� la b�squeda basadas en las variables del estudio a trav�s de una selecci�n de informaci�n con criterio y rigor cient�fico, que fueron obtenidas de bases de datos especializadas. La informaci�n fue seleccionada durante los meses de abril, mayo y junio del 2022, considerando dimensiones tales como m�todos, �reas de aplicaci�n y teoremas aplicados. La informaci�n seleccionada fue referenciada a trav�s de las normas APA en 7ma versi�n y fueron filtradas, analizadas, contrastadas y sintetizadas por parte de los investigadores del estudio. Finalmente, a trav�s de la discusi�n, se establecieron las conclusiones que permitieron establecer que las Ecuaciones diferenciales con retardo pueden ser aplicadas en un gran espectro de �reas y nos permiten predecir escenarios ajustados a la realidad; sin embargo, requieren m�todos complejos para obtener soluciones a trav�s de una aproximaci�n num�rica.

Palabras Clave: an�lisis; ecuaciones diferenciales; retardo; m�todo; teorema.

 

Abstract

The objective of the present investigation was to carry out a brief analysis of differential equations with delay, since they are applied in many situations in which the modeling of problems considers proposing a system of differential equations with return. For this, the search was carried out based on the study variables through a selection of information with scientific criteria and rigor, which were obtained from specialized databases. The information was selected during the months of April, May and June 2022, considering dimensions such as methods, areas of application and applied theorems. The selected information was referenced through the APA standards in the 7th version and was filtered, analyzed, contrasted and synthesized by the study researchers. Finally, through the discussion, the conclusions were established that allowed establishing that differential equations with delay can be applied in a wide spectrum of areas and allow us to predict scenarios adjusted to reality; however, they require complex methods to obtain solutions through numerical approximation.

Keywords: analysis; differential equations; time delay; method; theorem.

Resumo

O objetivo da presente investiga��o foi realizar uma breve an�lise de equa��es diferenciais com atraso, uma vez que s�o aplicadas em muitas situa��es em que a modelagem de problemas considera propor um sistema de equa��es diferenciais com retorno. Para isso, a busca foi realizada com base nas vari�veis ​​do estudo por meio de uma sele��o de informa��es com crit�rio e rigor cient�fico, as quais foram obtidas em bases de dados especializadas. As informa��es foram selecionadas durante os meses de abril, maio e junho de 2022, considerando dimens�es como m�todos, �reas de aplica��o e teoremas aplicados. As informa��es selecionadas foram referenciadas por meio das normas da APA na 7� vers�o e filtradas, analisadas, contrastadas e sintetizadas pelos pesquisadores do estudo. Por fim, atrav�s da discuss�o, foram estabelecidas as conclus�es que permitiram estabelecer que equa��es diferenciais com atraso podem ser aplicadas em um amplo espectro de �reas e permitem prever cen�rios ajustados � realidade; entretanto, requerem m�todos complexos para obter solu��es por meio de aproxima��o num�rica.

Palavras-chave: an�lise; equa��es diferenciais; atraso de tempo; m�todo; teorema.

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Introducci�n

En la docencia universitaria, los docentes de matem�ticas y f�sica, deben motivar a sus estudiantes a trav�s de alternativas, a fin de continuar mejorando su quehacer educativo, por lo que hallar modelos did�cticos, es una constante a fin de permitir motivaci�n en los estudiantes y lograr la adquisici�n de nuevas competencias, aprovechando todos y cada uno de los recursos que se disponen, e incidir en que la clase tenga una mejor aceptaci�n y comprensi�n, sin importar su nivel de complejidad. Actualmente, el avance de las ecuaciones diferenciales es extenso, ya que se puede encontrar con una gran cantidad de problemas que han permitido una gran variedad de estudios en matem�ticas puras; y se ha constituido en una importante herramienta para modelizar fen�menos de diversas �ndoles; donde se puede describir desde procesos meteorol�gicos hasta problemas relacionados con la aparici�n o desaparici�n de especies en competencia.

El origen de las Ecuaciones Diferenciales, lo encontramos en la formulaci�n Newtoniana de algunos problemas f�sicos, en particular en la soluci�n del problema gravitacional, psin olvidar que siempre ha estado ligada a los nombres de Newton y Leibnitz a las ecuaciones diferenciales. En el a�o 1671 Newton escribe en su libro de c�lculo diferencial un m�todo para resolver un problema de valor inicial mediante series construidas mediante un proceso iterativo; sin embargo, los trabajos m�s significativos con respecto a la soluci�n de ecuaciones diferenciales, se encuentran en los Principia mathematica, donde se presenta la ley de gravitaci�n universal como una ecuaci�n diferencial. Por otra parte, Leibnitz se inscribe en las ecuaciones diferenciales para tratar de resolver problemas geom�tricos sobre tangentes inversas. Para estudiar las ecuaciones diferenciales, se pueden clasificar en ecuaciones diferenciales ordinarias y las ecuaciones diferenciales parciales.

La ecuaci�n diferencial funcional m�s simple y m�s natural, es la ecuaci�n diferencial ordinaria con tiempo de retardo (Hutchinson, 1948), la cual puede ser usada para expresar alguna derivada de la funci�n desconocida en el tiempo t en t�rminos de la ocurrencia de la misma en instantes anteriores.

En diversos problemas f�sicos y biol�gicos, existen modelos que son descritos en t�rminos de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, la teor�a de las ecuaciones diferenciales abarca tambi�n un campo muy importante que corresponde a las ecuaciones diferenciales con retardo (EDR) la cual se ocupa de modelos donde la variaci�n de la variable de estado x con el tiempo depende en cada instante t no s�lo de x(t) sino tambi�n de los valores de x en instantes anteriores.

Avila et al. (2010) sostiene que existen muchas situaciones en las que la modelizaci�n de problemas de ciencias en general, donde se considera plantear uno o un sistema de ecuaciones diferenciales enmarcadas en diferentes esquemas y tipos de acuerdo con la estructura, el orden que pueden involucrar derivadas parciales o totales, que solo en ciertos casos se puede encontrar una soluci�n anal�tica y en muchas ocasiones los modelos matem�ticos involucran ecuaciones diferenciales para las que no se cuenta con soluciones anal�ticas. Por lo que se debe recurrir a otros m�todos. Sin embargo, aplicar los m�todos num�ricos requiere de un an�lisis cuidadoso que garanticen que la aproximaci�n a la soluci�n buscada, ya que se puede incurrir en errores de medici�n de datos y de redondeo en los c�lculos

Aceituno Muriel (2021) indica que los modelos utilizados para desarrollar la din�mica de poblaciones, suponen que los organismos reaccionan inmediatamente a la presencia de est�mulos. Algunos ejemplos conocidos son los modelos de Verhulst, Schafer o Gordon. Pero basarse en esta respuesta inmediata de los organismos no es del todo correcto. Por ejemplo: los alimentos consumidos por los animales en la naturaleza no se recuperan de forma inmediata, sino que requerir�n de un cierto tiempo para hacerlo. Por esta raz�n, muchos de los sucesos que ocurren en la naturaleza son modelados mediante ecuaciones diferenciales con retardo.

Metodolog�a

El presente estudio, hace un breve an�lisis sobre las ecuaciones diferenciales con retardo. Para ello, se ha realizado una selecci�n de estudios a trav�s de una b�squeda en la que se consider� estudios en diferentes �reas de aplicaci�n debido a su amplia cobertura de aplicaci�n de la variable del estudio con informaci�n de primer y segundo nivel, las cuales fueron revisadas en bases de datos especializadas como Scopus, Redalyc, Scielo y Google Scholar. La revisi�n de la informaci�n fue realizada durante los meses abril, mayo y junio del a�o del 2022.

Los descriptores (palabras claves) de b�squeda que fueron utilizados, se basaron en las variables del tema de estudio, as� ingenier�a, econom�a, qu�mica, f�sica, log�stica; mientras que sus las b�squedas fundamentales fueron cubiertas por las variables:�� como tambi�n las ciencias en las cuales pueden ser aplicadas; entre ellas tenemos: ecuaciones diferenciales con retardo aplicaci�n, y se consider� como dimensiones de adicionales a los m�todos, teoremas, lineales, no lineales y ordinarias. �

Para la b�squeda en la miner�a de informaci�n se utiliz� el siguiente orden metodol�gico:

�       Identificaci�n de variables en el contexto de estudio

�       An�lisis y filtrado de informaci�n, a fin de extraer la informaci�n pertinente al contexto del estudio planteado.

�       S�ntesis de informaci�n, a fin de ordenarla en base a las variables, para posterior continuar con la combinaci�n de informaci�n relevante al estudio.

�       Finalizada la b�squeda, se continu� con la selecci�n, precisi�n, relevancia, utilidad, credibilidad y experiencia de los autores.

�       Se seleccion� varios estudios enmarcados en los criterios de selecci�n, para proseguir con la lectura cr�tica de los documentos.

�       La informaci�n seleccionada, fue condicionada en base a sus evidencias concluyentes; as� como por su adaptaci�n a nuestro contexto de estudio.

�       Las b�squedas fueron realizadas por los autores de la investigaci�n.

 

Para realizar las referenciar bibliogr�ficas, generaci�n de la bibliograf�a, se utiliz� un gestor bibliogr�fico denominado Mendey aplicando las normas APA 7ma versi�n. Se evaluaron varias tesis de pregrado, postgrado y art�culos cient�ficos, los mismos que cumplieron con los criterios de selecci�n, para finalmente realizar el respectivo contraste de la informaci�n a trav�s de la discusi�n.

 

Discusi�n

Liz Marz�n (2006) indica que la interpretaci�n aproximada en fen�menos naturales ha introducido ciertos tipos de ecuaciones diferenciales en la variable temporal denominada como retardos, haciendo que dichas ecuaciones y sus soluciones tengan un comportamiento ajustados con la realidad, las mismas que requieren de m�todos complejos para llegar a una soluci�n a trav�s de una aproximaci�n num�rica

Ruiz Gonz�lez et al. (2016) menciona que a la hora de estudiar los modelos de quimiostato,� existe la posibilidad de considerar un retardo de tal forma que quede explicado el crecimiento oscilatorio de los microorganismos. En este aspecto los retardos son naturales en sistemas biol�gicos, ya que permiten la coexistencia de poblaciones en competici�n como soluci�n peri�dica no forzada y se justifican debido a que el comportamiento de los sistemas din�micos depende del presente y de su hist�rico.�

Natalia & Bonilla (2016) mencionan que el uso de las ecuaciones diferenciales con retardo discreto, tiene un amplio campo de aplicaci�n; por lo que no es posible encontrar de manera anal�tica una soluci�n. Sostiene que se debe hacer uso de m�todos num�ricos y de recursos computacionales para realizar los respectivos c�lculos, conociendo las limitaciones que impone en la estabilidad de dichas ecuaciones. Indica que el an�lisis aplicado a las soluciones para su descripci�n, debe ser similar a una ecuaci�n diferencial ordinaria; sin embargo, la complejidad agregada por el retardo es considerable, pues debe considerarse soluciones en funci�n de τ , y estudiar productos de los par�metros con el retardo.

Lance (2021) concluye que las ecuaciones diferenciales con retardo, son sumamente interesante de explorar, ya que modelizan un modo m�s riguroso de muchas situaciones del mundo real, donde no se puede ignorar la existencia de retardos en la transferencia de informaci�n, pues pueden cambiar dr�sticamente su comportamiento en un sistema frente a la alternativa de no tener en cuenta la existencia dicho retardo que pueden tener un comportamiento oscilatorio en las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Romero & Cruz (2017) en su investigaci�n acerca de Estructurado por Sexo para el Estado Libre de Infecci�n desarrollado mediante las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) y las Ecuaciones Diferenciales con Retardo (EDR)aplicado a la Salud P�blica del Per�, concluye que Matem�ticamente, el Sistema EDO y el Sistema EDR, poseen la estabilidad local y la estabilidad absoluta para el punto libre de Infecci�n, ya que ambos sistemas nos permite modelar la din�mica de transmisi�n de una enfermedad infecciosa (Susceptible-Infectado). El modelamiento en EDO nos permite conocer el comportamiento de cuando el contagio es inmediato; mientras que el modelamiento EDR nos permite conocer, cuando se considere el periodo latente adecuado.

(Pino Romero et al., 2019) en su investigaci�n denominada Soluci�n Uniformemente Acotada y Estabilidad Asint�tica del Punto Libre de Infecci�n de un Modelo Matem�tico SI con Din�mica Vital (crecimiento log�stico) mediante las Ecuaciones Diferenciales con Retardo; concluye que el modelo matem�tico SI con din�mica vital mediante las EDR permiten analizar la interacci�n entre las poblaciones de susceptibles de infectados considerando el periodo de incubaci�n que posee la enfermedad del VIH/SIDA, por lo cual el estado libre de infecci�n debe situarse en la evoluci�n de la enfermedad, obteniendo una mejor aproximaci�n de la realidad sobre una enfermedad infecciosa.

(Mirian & Villafuerte, 2017) en su tesis denominada ECUACI�N DE REACCI�N-DIFUSI�N EN DERIVADAS PARCIALES CON RETARDO Y APLICACI�N DE LAS SERIES INFINITAS, encontr� la soluci�n para la ecuaci�n de Reacci�n-Difusi�n con Retardo en forma de serie infinita dado por u (t; x) = X 1 + X 2 + X 3 + X 4; dicha soluci�n fue obtenida mediante m�todo de Fourier, el cual permiti� obtener soluciones exactas y de aproximaciones num�ricas, es decir se obtuvo una herramienta para resolver problemas mixtos para ecuaciones en derivadas parciales con retardo y con coeficientes constantes.

(Avila et al., 2010) La ecuaci�n de Hutchinson considera que los efectos en la poblaci�n dependen de un tiempo anterior en lugar del tiempo presente t. Con el objeto de tener un modelo m�s realista debemos considerar que el retardo dependa de un promedio de todos los tiempos anteriores, y la ecuaci�n que resulta entonces se le conoce como una ecuaci�n con retardo distribuido o con retardo infinito.

(Garay Gonzales, 2020) en su tesis sobre un Modelo matem�tico depredador - presa utilizando ecuaciones diferenciales ordinarias con retardo, concluye que el an�lisis de estabilidad lineal en ausencia de retardo, para la funci�n mon�tona de crecimiento de la presa, el equilibrio de coexistencia es un centro, pero si la funci�n de crecimiento de la presa es log�stica, entonces el equilibrio de coexistencia es localmente asint�ticamente estable si β < γk y no existe si β > γk. Si se muestra que τ > 0, por lo que surge una soluci�n peri�dica en el caso de la funci�n de crecimiento mon�tona de la presa, ya que la bifurcaci�n de Hopf ocurre sin ninguna condici�n. En el caso del crecimiento log�stico de presas cuando τ > 0 la soluci�n peri�dica es posible a trav�s de la bifurcaci�n de Hopf bajo ciertas condiciones.

Bel (2014) menciona que otro m�todo que permite el estudio de soluciones oscilatorias en ecuaciones diferenciales con y sin retardo, es la metodolog�a en frecuencia que generaliza los resultados existentes y permite a trav�s de la teor�a de singularidades describir distintos escenarios din�micos relacionados con bifurcaciones de Hopf generalizadas.

(Trujillo Valencia, 2016) indica que en la aplicaci�n del m�todo de transformaci�n� diferencia a ecuaciones con retardo utilizando ejemplos elementales permitieron ilustrar y comparar su soluci�n con la soluci�n determinada por m�todos anal�ticos, donde se visualiz� el comportamiento de la convergencia de las soluciones. Posteriormente generaliza el m�todo para aplicarlo a sistemas de ecuaciones diferenciales con retardo, lo que mostr� nuevamente la r�pida convergencia en comparaci�n con su soluci�n exacta.

(Itovich et al., 2019) en su estudio indican que las ecuaciones diferenciales con retardos pueden estudiarse a trav�s de la aplicaci�n de la metodolog�a en el dominio frecuencia, mediante el teorema de bifurcaci�n de Hopf Gr�fico, a fin de obtener aproximaciones de las soluciones peri�dicas emergentes con f�rmulas cerradas de diferentes �rdenes de precisi�n. �Analiz�ndolas con una ecuaci�n diferencial lineal con retardos y coeficientes peri�dicos. En su investigaci�n han implementado dos metodolog�as: una basada en un m�todo de colocaci�n de polinomios de Chebyshev y otra mixta denominada de semidiscretizaci�n. El m�todo con polinomios de Chebyshev le permiti� avanzar en la determinaci�n de bifurcaciones de ciclos en diferentes modelos; mientras que el m�todo de semidiscretizaci�n le permiti� abordar el problema de estabilidad en ecuaciones diferenciales lineales con varios retardos, independientes entre s�.

Leiva (2009) en su investigaci�n indica que cont� con las condiciones adecuadas garantizar la controlabilidad exacta de una Ecuaci�n de Onda no lineal, cuyas condiciones de borde son de tipo Dirichlet y la no-linealidad est� determinada a trav�s de un t�rmino integral que incluye una expresi�n con retardo. Donde consider� una ecuaci�n como un sistema abstracto, ordinario, no lineal de primer orden en un espacio de Hilbert, el cual fue convenientemente seleccionado.

Zacatenco et al. (2018) en su estudio, por primera vez lograron obtener diagramas de estabilidad en los planos param�tricos de la ecuaci�n de Hill con retardo, sin la restricci�n de ω = τ. donde Se representan diferentes comportamientos que van de la mano de una configuraci�n del retardo y la excitaci�n param�trica. Su logro m�s relevante, fue la aparici�n de una regi�n de estabilidad no observada en el caso sin retardo. Al utilizar el m�todo de Walsh, les permiti� caracterizar el retardo de una forma natural, simplificando y reduciendo el orden de la aproximaci�n, compensando una menor velocidad de convergencia de las aproximaciones por funciones de Walsh con respecto a las aproximaciones por funciones de Fourier o polinomios de Chebyshev.

Franco (2013) a trav�s de su tesis denominada Din�mica de Sistemas Ingenieriles con Retardos Temporales, sostiene que se ha desarrollado una extensi�n del m�todo dado por el teorema gr�fico de bifurcaci�n de Hopf, lo que permiti� el an�lisis de bifurcaciones locales en una amplia variedad de ecuaciones diferenciales funcionales retardadas. En su estudi� mostr� c�mo el m�todo Hopf, puede utilizarse para obtener aproximaciones de la amplitud y frecuencia de las oscilaciones que aparecen en EDFRs, tomando como ejemplos distintos modelos del oscilador de van der Pol con retardos. Adem�s, para balances arm�nicos de alto orden indica que pueden utilizarse las mismas f�rmulas que para sistemas EDOs, como las que se encuentran en (Moiola & Chen, 1996; Robbio et al., 2007).

Vicente Morocho & Panta Palacios (2019) en su tesis doctoral denominada PROPUESTA DE UN MODELO MATEM�TICO PARA CONTROLAR LA PROPAGACI�N DEL DENGUE EN LA CIUDAD DE PIURA, menciona que las EDR, �tienen una amplia gama de posibilidades para su uso, pues se puede demostrar de manera realista al considerar intervalos de tiempo necesarios para que exista una interacci�n apropiada entre los diversos componentes del sistema objeto de estudio, por lo que, la propuesta con el modelo matem�tico basado en el m�todo expl�cito de Runge-Kutta, concluy� que queda probada la consistencia m�s no su convergencia, pues todo m�todo de Runge Kutta expl�cito de orden 4, para problemas no lineales no cumple con la estabilidad. Lo cual es un problema abierto para trabajos futuros.

Valencia et al. (2016) En su estudio presentan un modelo basado en ecuaciones diferenciales, que eval�a el efecto de variar  la magnitud  del retardo  de informaci�n que afecta cooperaci�n en un mecanismo de cooperaci�n basado en confianza, para promover la adopci�n de tecnolog�as de consumo de electricidad eficientes donde se estudi� un modelo de simulaci�n en Din�mica de Sistemas para estudiar los efectos de los retardos en la promoci�n de la cooperaci�n para reducir las emisiones de CO2 mediante  la adopci�n de tecnolog�as de consumo de energ�a eficientes. Las simulaciones obtenidas sugieren que a mayor magnitud en el retardo de informaci�n menor es la acci�n colectiva alcanzada.

Jim�nez-Calvillo & Campos-Cant�n (2018) analizan el efecto de retardo de tiempo en una ecuaci�n diferencial de primer orden, donde el tiempo de retardo junto la amplitud de la ecuaci�n de primer orden, genera tres tipos de respuesta. En primer lugar, la cl�sica respuesta de una ecuaci�n de primer de forma exponencial, para tiempos de retardo muy peque�os, una segunda respuesta, como una ecuaci�n diferencial de segundo orden y finalmente una respuesta de un arm�nico oscilador. Con la ayuda de Matlab-Simulink, se implement� el retraso de tiempo, as� como la simulaci�n de la ecuaci�n diferencial de primer orden a diferentes condiciones iniciales, donde los resultados experimentales obtenidos concuerdan con el an�lisis te�rico que realizaron.

Albornoz et al. (2010) proponen un modelo enzim�tico discreto, el cual incluye tiempos de procesamiento y recuperaci�n para considerar de forma simple los cambios conformacionales que ocurren durante el ciclo catal�tico y sus efectos en la din�mica resultante. El modelo discreto concuerda con el modelo continuo con retardo, cuando se exponen a grandes n�meros de mol�culas; mientras que cuando es peque�o, el modelo discreto exhibe las discontinuidades asociadas a la naturaleza discreta de las reacciones a escalas microsc�picas. El modelo discreto representa una herramienta de modelado y simulaci�n, el cual evita la complejidad de la simulaci�n estoc�stica, sin adolecer de las deficiencias de los modelos basados en ecuaciones diferenciales; esta caracter�stica es especialmente importante cuando se consideran sistemas biol�gicos que operan en vol�menes muy peque�os, como es el caso de las organelas.

 

Conclusi�n

A trav�s del breve an�lisis de las ecuaciones diferenciales, se pudo observar el uso de diferentes m�todos a fin de comprobar an�lisis te�ricos, establecidos por teoremas para de comprobar si las propuestas pueden en algunos casos comprobar o rechazar soluciones con comportamientos ajustados a la realidad que fueron establecidos a trav�s de modelos matem�ticos. Adem�s, la variable de retardo implica un campo amplio de aplicaci�n que es determinado por las dimensiones o criterios que pueden direccionar diferentes conclusiones los cuales pueden variar dr�sticamente en las ecuaciones diferenciales ordinarias; as� tambi�n que requieren de m�todos complejos para obtener soluciones a trav�s de una aproximaci�n num�rica. �Por otra parte, el estudio de la aplicaci�n de las ecuaciones diferenciales con retorno, ha permitido obtener aproximaciones de la realidad en el �rea de la salud p�blica, mediante la aplicaci�n de soluciones con modelos que analizan las interacciones de una poblaci�n con respecto a una afecci�n.

 

Referencias

1. Aceituno Muriel, A. (2021). Ecuaciones diferenciales con retardo [Valladolit]. https://uvadoc.uva.es/handle/10324/50535
2. Albornoz, J. M., Javier, F., & Vargas, A. (2010). Modelado de una reacci�n enzim�tica simple con retardo y discretizaci�n. Memorias de La UDLA.
3. Avila, E., Emilio, G., & Almeida, G. (2010). Estabilidad local de ecuaciones diferenciales ordinarias con retardo y aplicaciones. Miscelanea Matem � Atica, 51, 73�92.
4. Bel, A. L. (2014). Soluciones oscilatorias en ecuaciones diferenciales con retardo [Universidad Nacional del Sur]. https://repositoriodigital.uns.edu.ar/handle/123456789/451
5. Franco, S. G. (2013). Din�mica de Sistemas Ingenieriles con Retardos Temporales [UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SUR]. https://repositoriodigital.uns.edu.ar/bitstream/handle/123456789/515/Tesis_Doctoral_Franco_Gentile.pdf?sequence=1&isAllowed=y
6. Garay Gonzales, E. O. (2020). Modelo matem�tico depredador - presa utilizando ecuaciones diferenciales ordinarias con retardo [UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO]. https://repositorio.unprg.edu.pe/handle/20.500.12893/8798
7. Hutchinson, G. E. (1948). Circular Causal Systems in Ecology, by George Evelyn Hutchinson. Annals of the New York Academy of Sciences. http://people.wku.edu/charles.smith/biogeog/HUTC1948.htm
8. Itovich, G. R., Gentile, F. S., & Moiola, J. L. (2019). RID-UNRN: An�lisis de estabilidad de soluciones peri�dicas en ecuaciones diferenciales con retardos y aplicaciones [Universidad Nacional de R�o Negro]. https://rid.unrn.edu.ar/handle/20.500.12049/6081
9. Jim�nez-Calvillo, I., & Campos-Cant�n, I. (2018). Instrumentaci�n de un Sistema con Retardo. In Circuitos y Sistemas Multidisciplinar (p. 224).
10. Lance, G. P. (2021). APLICACI�N DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES CON RETARDO. ECONSTOR, 781. www.cema.edu.ar/publicaciones/doc_trabajo.html
11. Leiva, V. (2009). Ciencia e Ingenier�a Universidad de los Andes. Ciencia e Ingenier�a, 30(2), 143�148. http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=507550785007
12. Liz Marz�n, E. (2006). Sobre ecuaciones diferenciales con retraso, din�mica de poblaciones y n�meros primos. MATerials MATem`atics, 17, 1�24. https://ddd.uab.cat/record/97982
13. Mirian, E., & Villafuerte, U. (2017). UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUST�N Tesis presentada por la Bachiller.
14. Natalia, A., & Bonilla, R. (2016). ECUACIONES DIFERENCIALES CON RETARDO DISCRETO. UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR.
15. Pino Romero, N., Salazar Fernandez, C. U., & Lopez Cruz, R. (2019). Soluci�n Uniformemente Acotada y Estabilidad Asint�tica del Punto Libre de Infecci�n de un Modelo Matem�tico SI con Din�mica Vital (crecimiento log�stico) mediante las Ecuaciones Diferenciales con Retardo - Dialnet. SELECCIONES MATEMATICAS, 6(1), 66�76. https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=7167051
16. Romero, N. P., & Cruz, R. L. (2017). Teoremas de Estabilidad en un Modelo Matem�tico SI con Din�mica Vital Estructurado por Sexo para el Estado Libre de Infecci�n desarrollado mediante las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y las Ecuaciones Diferenciales con Retardo aplicado a la Salud P�bl. Selecciones Matem�ticas, 4(02), 202�210. https://doi.org/10.17268/sel.mat.2017.02.07
17. Ruiz Gonz�lez, A., Caraballo Garrido, T., & Langa Rosado, J. A. (2016). Ecuaciones diferenciales con retardo: Aplicaci�n a un modelo de quimiostato.
18. Trujillo Valencia, J. F. (2016). Aproximaci�n num�rica de Ecuaciones diferenciales con retardo por el m�todo de transformaci�n diferencial aplicado a modelos biol�gicos. https://repositorio.utp.edu.co/items/c445790c-1fa4-4966-9394-3da2bbaa8195
19. Valencia, J. A. P., Ballesteros, E. P., & Dallos, A. R. L. (2016). Cooperaci�n en la adopci�n de tecnolog�as de consumo de electricidad eficientes. INGE@UAN - TENDENCIAS EN LA INGENIER�A, 6(11). https://revistas.uan.edu.co/index.php/ingeuan/article/view/407
20. Vicente Morocho, A. R., & Panta Palacios, R. (2019). Propuesta de un modelo matem�tico para controlar la propagaci�n del dengue en la ciudad de Piura [UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA]. https://repositorio.unp.edu.pe/handle/UNP/1618
21. Zacatenco, U., Abraham, E., & Ordu�a, V. (2018). La Ecuaci�n de Hill con Retardo. Centro de Investigaci�n y de Estudios Avanzados del Instituto Polit�cnico Nacional.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

� 2022 por los autores. Este art�culo es de acceso abierto y distribuido seg�n los t�rminos y condiciones de la licencia Creative Commons Atribuci�n-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA 4.0)

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