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Alternativa did�ctica para reducir la ecuaci�n de segundo grado en tres variables a su forma can�nica en la educaci�n de las matem�ticas

 

Didactic alternative to reduce the quadratic equation in three variables to its canonical form in mathematics education

 

Alternativa did�tica para redu��o da equa��o quadr�tica em tr�s vari�veis ​​� sua forma can�nica na educa��o matem�tica

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Correspondencia: nsalgado@itsjapon.edu.ec

 

Ciencias de la Educaci�n

Art�culo de Investigaci�n

 

 

* Recibido: 30 de diciembre de 2023 *Aceptado: 17 de enero de 2024 * Publicado: �10 de febrero de 2024

 

        I.            Instituto Superior Tecnol�gico Jap�n, Ecuador.

Resumen

Es importante que estudiantes de carreras tecnol�gicas dominen los procedimientos de resoluci�n de ecuaciones cuadr�ticas de segundo grado con tres variables mediante productos escalares y vectoriales, dada la complejidad asociada al m�todo de ortogonalizaci�n de Schmidt. La comprensi�n profunda de estos m�todos alternativos no solo refleja la interrelaci�n entre la geometr�a y el �lgebra, sino que tambi�n prepara a los tecn�logos para abordar problemas tridimensionales de manera m�s eficiente.

La aplicaci�n de productos escalares y vectoriales en la resoluci�n de ecuaciones cuadr�ticas tridimensionales no solo simplifica el proceso, sino que tambi�n dota a los estudiantes con habilidades transferibles esenciales para enfrentar desaf�os matem�ticos y cient�ficos complejos en diversas disciplinas. En esta investigaci�n se presentan los resultados del trabajo realizado con los estudiantes de la carrera de Mec�nica Automotriz del Instituto Superior Tecnol�gico Jap�n. Para este abordaje se utilizaron dos grupos uno de control y otro experimental en un estudio cuasi experimental.

Como resultado se observa un aumento de la calidad del aprendizaje, as� como un mayor desarrollo en la habilidad para resolver problemas que conduzcan a ecuaciones de este tipo.

La justificaci�n de este estudio radica en la b�squeda de alternativas que permitan a los docentes de la asignatura de matem�ticas tener las herramientas para la ense�anza de este procedimiento en el Instituto Superior Tecnol�gico Jap�n. As�, este art�culo se centra en la inserci�n de otro m�todo de resoluci�n de las ecuaciones de segundo grado en tres variables para la obtenci�n de la ecuaci�n en su forma can�nica.

Palabras clave: Algebra lineal; Ecuaci�n; Producto vectorial.

 

Abstract

It is important that students of technological careers master the procedures for solving quadratic equations of the second degree with three variables using scalar and vector products, given the complexity associated with the Schmidt orthogonalization method. Deep understanding of these alternative methods not only reflects the interrelationship between geometry and algebra, but also prepares technologists to address three-dimensional problems more efficiently.

The application of dot and vector products in solving three-dimensional quadratic equations not only simplifies the process, but also equips students with transferable skills essential for meeting complex mathematical and scientific challenges in various disciplines. This research presents the results of the work carried out with the students of the Automotive Mechanics degree at the Japan Higher Technological Institute. For this approach, two groups, one control and one experimental, were used in a quasi-experimental study.

As a result, an increase in the quality of learning is observed, as well as greater development in the ability to solve problems that lead to equations of this type.

The justification of this study lies in the search for alternatives that allow mathematics teachers to have the tools to teach this procedure at the Japan Higher Technological Institute. Thus, this article focuses on the insertion of another method for solving quadratic equations in three variables to obtain the equation in its canonical form.

Keywords: Linear algebra; Equation; Vector product.

 

Resumo

� importante que os estudantes das carreiras tecnol�gicas dominem os procedimentos de resolu��o de equa��es quadr�ticas de segundo grau com tr�s vari�veis ​​utilizando produtos escalares e vetoriais, dada a complexidade associada ao m�todo de ortogonaliza��o de Schmidt. A compreens�o profunda destes m�todos alternativos n�o s� reflete a inter-rela��o entre geometria e �lgebra, mas tamb�m prepara os tecn�logos para resolver problemas tridimensionais de forma mais eficiente.

A aplica��o de produtos escalares e vetoriais na resolu��o de equa��es quadr�ticas tridimensionais n�o apenas simplifica o processo, mas tamb�m equipa os alunos com habilidades transfer�veis essenciais para enfrentar desafios matem�ticos e cient�ficos complexos em diversas disciplinas. Esta pesquisa apresenta os resultados do trabalho realizado com os alunos do curso de Mec�nica Automotiva do Instituto Superior Tecnol�gico do Jap�o. Para esta abordagem, dois grupos, um controle e um experimental, foram utilizados em um estudo quase experimental.

Como resultado, observa-se um aumento na qualidade da aprendizagem, bem como um maior desenvolvimento na capacidade de resolu��o de problemas que levam a equa��es deste tipo.

A justificativa deste estudo est� na busca de alternativas que permitam aos professores de matem�tica terem ferramentas para ensinar esse procedimento no Instituto Superior Tecnol�gico do Jap�o. Assim, este artigo tem como foco a inser��o de outro m�todo de resolu��o de equa��es quadr�ticas em tr�s vari�veis ​​para obten��o da equa��o em sua forma can�nica.

Palavras-chave: �lgebra linear; Equa��o; Produto vetorial.

 

Introducci�n

La resoluci�n de ecuaciones cuadr�ticas de tres variables representa un pilar matem�tico de relevancia incontestable en la comprensi�n y soluci�n de fen�menos tridimensionales que impactan significativamente en diversas esferas de la vida cotidiana (Ruiz L�pez, 2020). Este componente algebraico, no solo destaca en la investigaci�n cient�fica, sino que tambi�n desempe�a un rol esencial en la ingenier�a y la interpretaci�n de fen�menos econ�micos complejos

Desde la perspectiva cient�fica, la resoluci�n de ecuaciones cuadr�ticas de tres variables provee una herramienta precisa para la modelizaci�n de sistemas f�sicos y naturales (Silva & Lazo, 2000) estas ecuaciones se revelan como fundamentales para describir fen�menos como la din�mica de fluidos, proporcionando una base matem�tica robusta para la investigaci�n cient�fica avanzada.

En el �mbito ingenieril, la resoluci�n de ecuaciones cuadr�ticas tridimensionales es un aspecto cr�tico en el dise�o eficiente de estructuras y procesos (Wolters, 2021), es de destacar que estas ecuaciones son esenciales en disciplinas como la mec�nica estructural y la transferencia de calor, siendo la resoluci�n de problemas tridimensionales imperativa para garantizar la viabilidad y el rendimiento de proyectos ingenieriles.

Desde la perspectiva econ�mica, la aplicaci�n de ecuaciones cuadr�ticas de tres variables se posiciona como una herramienta indispensable para modelar relaciones complejas entre variables econ�micas. (Lay, 2012) enfatizan que estas ecuaciones son cruciales en la formulaci�n de modelos econ�micos tridimensionales, permitiendo as� una comprensi�n profunda y la anticipaci�n de fen�menos econ�micos complejos.

Este procedimiento no solo constituye un componente destacado en la investigaci�n avanzada, sino que tambi�n despliega aplicaciones pr�cticas que inciden directamente en la resoluci�n de desaf�os en campos tan diversos como la ciencia, la ingenier�a y la econom�a.

La resoluci�n de ecuaciones cuadr�ticas de segundo grado con tres variables mediante el m�todo de ortogonalizaci�n de Schmidt presenta un desaf�o intrincado para los estudiantes en el Instituto Superior Tecnol�gico Jap�n debido a la complejidad inherente de este enfoque. Este m�todo, que busca ortogonalizar un conjunto de vectores, requiere un entendimiento profundo de los conceptos matriciales y algebraicos asociados con sistemas tridimensionales (Ababu, 2020). Los estudiantes se enfrentan a la necesidad de manejar m�ltiples coeficientes y variables en un espacio tridimensional, lo que demanda un s�lido dominio de las operaciones matriciales y una habilidad para visualizar y trabajar en un entorno tridimensional. La interpretaci�n geom�trica de las soluciones, as� como la aplicaci�n precisa del m�todo de ortogonalizaci�n de Schmidt, a�aden capas adicionales de complejidad (Fernando Galv�n, 2022).

Resolver ecuaciones cuadr�ticas de segundo grado con tres variables mediante el uso de productos vectoriales y escalares presenta ventajas significativas para los estudiantes. Este enfoque no solo permite una comprensi�n m�s profunda de las relaciones tridimensionales entre las variables, sino que tambi�n fomenta el desarrollo de habilidades geom�tricas y algebraicas avanzadas. Al utilizar productos vectoriales, los estudiantes pueden explorar la interacci�n entre vectores tridimensionales, proporcionando una interpretaci�n geom�trica valiosa de las soluciones. Asimismo, el uso de productos escalares facilita el c�lculo (Antoniou, 2022).

Teniendo en cuenta esta problem�tica el objetivo de este trabajo es sugerir una alternativa did�ctica mediante un procedimiento con su argumentaci�n, donde se utiliza el producto vectorial y el producto escalar, el cual resulta m�s sencillo al estudiante cuando elimina los t�rminos mixtos de la ecuaci�n de segundo grado en tres variables.

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Metodolog�a

Dise�o de la investigaci�n

Se realiza una investigaci�n de �mbito explicativo a trav�s de un dise�o cuasi-experimental que engloba un conjunto experimental y otro de control. La elecci�n del enfoque explicativo en la investigaci�n tiene como finalidad profundizar en la comprensi�n de la relaci�n causal entre la ejecuci�n del m�todo de resoluci�n de ecuaciones de segundo grado con tres variables, utilizando productos vectoriales y escalares, y las variaciones observadas en la motivaci�n por el aprendizaje de la asignatura de matem�ticas, en particular el �lgebra lineal. Este alcance posibilita explorar m�s all� de las asociaciones correlativas y abordar la pregunta esencial de si la introducci�n de este procedimiento incide de manera efectiva en los resultados deseados.

El dise�o cuasi-experimental, con grupos de experimentaci�n y control, fue seleccionado para establecer comparaciones significativas entre aquellos estudiantes que aplican el m�todo de resoluci�n de ecuaciones de segundo grado con tres variables a trav�s del uso de productos vectoriales y escalares, y aquellos que siguen el procedimiento de ortogonalizaci�n de Schmidt.

El conjunto experimental recibi� el m�todo de resoluci�n de ecuaciones de segundo grado con tres variables mediante el uso de productos vectoriales y escalares, mientras que el grupo de control recibi� el procedimiento de ortogonalizaci�n de Schmidt.

Este dise�o ofrece un marco adecuado y eficaz para evaluar la efectividad de la introducci�n del nuevo procedimiento al permitir la comparaci�n entre dos condiciones distintas. Adem�s, la recopilaci�n de datos antes y despu�s de la inserci�n contribuye a identificar cualquier cambio significativo en el aprendizaje de los estudiantes, proporcionando as� evidencia sobre la relaci�n causal entre la aplicaci�n del nuevo procedimiento y los resultados acad�micos.

 

Participantes

Los participantes en este an�lisis consisten en un total de 40 estudiantes, distribuidos en dos conjuntos de 20 cada uno. Estos alumnos forman parte del programa de mec�nica automotriz en el Instituto Superior Tecnol�gico Jap�n y est�n inscritos en el curso de algebra lineal.

El grupo experimental, integrado por 20 estudiantes, fue expuesto al m�todo de resolver ecuaciones de segundo grado con tres variables utilizando productos vectoriales y escalares, implementado dentro del marco del mencionado curso. En contraste, el grupo de control, tambi�n compuesto por 20 estudiantes, sigui� el enfoque tradicional del procedimiento de ortogonalizaci�n de Schmidt.

La elecci�n de estudiantes de la misma disciplina y matriculados en la misma asignatura establece un punto de partida homog�neo, facilitando la comparaci�n entre los dos grupos. La distribuci�n equitativa de los participantes en cada conjunto ayuda a minimizar posibles sesgos y a asegurar que cualquier disparidad en los resultados se pueda atribuir m�s directamente a la intervenci�n que a otras variables externas.

 

Procedimiento

La investigaci�n se llev� a cabo siguiendo el siguiente protocolo:

      1.            Recopilaci�n de datos iniciales. Antes de la intervenci�n, se obtuvieron datos de referencia sobre el desempe�o de los estudiantes en ambos conjuntos mediante registros de participaci�n.

      2.            Implementaci�n del m�todo de soluci�n de ecuaciones de segundo grado con tres variables utilizando productos vectoriales y escalares. Durante la intervenci�n, se registraron datos sobre la participaci�n y rendimiento de los estudiantes al resolver problemas y ecuaciones mediante el nuevo m�todo (grupo experimental) y el enfoque convencional (grupo de control).

      3.            Recopilaci�n de datos posteriores. Despu�s de la intervenci�n, se examinaron los registros de participaci�n para evaluar cambios en el rendimiento acad�mico de los estudiantes. Adem�s, se administr� una encuesta electr�nica an�nima con el objetivo de conocer sus opiniones sobre la experiencia de resolver ejercicios con el nuevo m�todo.

      4.            An�lisis de datos. Se llev� a cabo un an�lisis descriptivo de los datos recopilados, incluyendo medidas de tendencia central y dispersi�n. Esto ofreci� una visi�n general de la distribuci�n de los datos y permiti� identificar patrones y cambios a lo largo del tiempo. Se realizaron pruebas de normalidad para verificar la distribuci�n de los datos, siendo esencial para determinar la adecuaci�n de las pruebas estad�sticas param�tricas, como el test t de Student, utilizado para comparar las diferencias entre los grupos experimental y de control. Este enfoque ayud� a identificar si existen diferencias estad�sticamente significativas entre ambos grupos.

      5.            Comparaci�n de resultados antes y despu�s de la intervenci�n. Se evalu� el impacto del nuevo procedimiento en el rendimiento de los estudiantes mediante la comparaci�n de resultados antes y despu�s de la intervenci�n en ambos grupos.

 

An�lisis de los resultados y discusi�n

Para analizar estad�sticamente el impacto de la propuesta en el desempe�o acad�mico de los estudiantes de �lgebra lineal, se llev� a cabo la verificaci�n de la hip�tesis.

�         Ha: Existe una diferencia significativa en el dominio de la materia y la resoluci�n de ecuaciones entre los estudiantes que aplican el m�todo propuesto para resolver ecuaciones de segundo grado con tres variables utilizando productos vectoriales y escalares, en comparaci�n con aquellos que siguen la metodolog�a de ortogonalizaci�n de Schmidt.

�         H0: No hay diferencia significativa en el dominio de la materia y la resoluci�n de ecuaciones entre los estudiantes que aplican el m�todo propuesto para resolver ecuaciones de segundo grado con tres variables utilizando productos vectoriales y escalares, y aquellos que siguen la metodolog�a de ortogonalizaci�n de Schmidt.

Para poner a prueba esta hip�tesis, se lleva a cabo un test t-Student, que eval�a la disparidad entre los resultados obtenidos en las calificaciones finales para los grupos que siguieron el procedimiento de ortogonalizaci�n de Schmidt (grupo de control) y el procedimiento de resoluci�n de ecuaciones de segundo grado con tres variables utilizando productos vectoriales y escalares (grupo experimental). Este test se aplic� despu�s de verificar la normalidad de las variables (ver tabla 1). Adem�s, se estableci� un nivel de significancia estad�stica del 0.05, considerando como zona de rechazo cualquier probabilidad mayor a 0.05, lo que conlleva a aceptar H0 y rechazar Ha.

 

Tabla 1: Test de normalidad de Kolmogorov-Smirnov

 

Gr�fico 1: Histograma para la nota final de la asignatura

La informaci�n presentada en la tabla 2 resume los resultados derivados de la aplicaci�n de la prueba t-Student para muestras independientes. De manera descriptiva, tras la intervenci�n, se observa que la media de las calificaciones en el grupo que emplea la t�cnica de ortogonalizaci�n de Schmidt es de 17.77, con una desviaci�n est�ndar de 5.31. Contrariamente, en el grupo que utiliza el m�todo de resoluci�n de ecuaciones de segundo grado con tres variables mediante el empleo de productos vectoriales y escalares, las calificaciones presentan medias de 25.74�4.21. En este contexto, se confirma la disparidad entre los grupos (p=0.002<0.05), indicando que las calificaciones finales de los estudiantes que siguieron la metodolog�a del procedimiento de resoluci�n de ecuaciones de segundo grado con tres variables utilizando productos vectoriales y escalares difieren significativamente de las obtenidas bajo la metodolog�a del procedimiento de ortogonalizaci�n de Schmidt, respaldando as� la hip�tesis inicial.

 

Tabla 2: Test t-Student notas

 

Por otra parte, al concluir la asignatura, se administr� a los estudiantes una encuesta electr�nica an�nima con el fin de conocer sus percepciones sobre la metodolog�a empleada en la resoluci�n de ecuaciones de segundo grado con tres variables mediante el uso de productos vectoriales y escalares. Los resultados fueron los siguientes:

�         La aplicaci�n del m�todo de resoluci�n de ecuaciones de segundo grado con tres variables mediante el uso de productos vectoriales y escalares demand� que los estudiantes integraran contenidos de diversas ramas de las matem�ticas, amalgamando todos los conocimientos de �lgebra en la resoluci�n de ecuaciones y problemas. En el periodo evaluado, las calificaciones de excelente, muy bueno y bueno representaron el 77,8%, 100,0% y 93,3%, respectivamente.

�         La implementaci�n del m�todo de resoluci�n de ecuaciones de segundo grado con tres variables utilizando productos vectoriales y escalares como enfoque para resolver ecuaciones en la ense�anza de la asignatura de �lgebra lineal demostr� ser eficaz, obteniendo resultados favorables con porcentajes superiores al 85,0%.

�         En t�rminos generales, los estudiantes evaluaron positivamente el uso del m�todo de resoluci�n de ecuaciones de segundo grado con tres variables mediante el uso de productos vectoriales y escalares, otorg�ndole calificaciones de "excelente y buena" con porcentajes superiores al 85%. Adem�s, m�s del 95% de los alumnos expresaron que este m�todo result� ser "mucho mejor y mejor" en comparaci�n con el enfoque tradicional. Los estudiantes demostraron su compromiso con el desarrollo de sus habilidades de resoluci�n de ecuaciones y problemas al abordar repetidamente los ejercicios de �lgebra lineal hasta lograr su soluci�n.

�         El m�todo de resoluci�n de ecuaciones de segundo grado con tres variables mediante el uso de productos vectoriales y escalares como enfoque tuvo un impacto significativo en el aprendizaje de los estudiantes, ya que m�s del 90% evalu� su aprendizaje como "muy alto y alto". Adem�s, en un porcentaje superior al 90%, indicaron que su aprendizaje fue "mucho mejor y mejor" en comparaci�n con el m�todo de ortogonalizaci�n de Schmidt. La nueva propuesta les brinda la oportunidad de resolver ecuaciones de forma m�s asequible, sin necesidad de tantos c�lculos.

�         Pr�cticamente la totalidad de los estudiantes, alcanzando el 100,0%, se sintieron estimulados para adentrarse en el aprendizaje del �lgebra lineal y expresaron plena satisfacci�n con el m�todo de resoluci�n de ecuaciones de segundo grado con tres variables mediante el uso de productos vectoriales y escalares.

 

Conclusiones

Al analizar la informaci�n recopilada durante este proyecto, se pueden extraer varias conclusiones fundamentales: seg�n los resultados obtenidos al implementar actividades en el aula utilizando el m�todo de resoluci�n de ecuaciones de segundo grado con tres variables mediante el uso de productos vectoriales y escalares, se determina que se logr� mejorar la habilidad y el inter�s por el �lgebra entre los estudiantes.

Adem�s, se observ� el desarrollo de una motivaci�n intr�nseca que los llev� a participar activamente en la pr�ctica, estudio y ejecuci�n de las actividades y tareas programadas, con el objetivo de adquirir un mayor nivel de conocimiento. La aplicaci�n de este m�todo desempe�� un papel crucial en estimular la motivaci�n de los estudiantes para llevar a cabo actividades independientes, siendo esenciales para su cumplimiento. Se destaca que la utilizaci�n del m�todo antes mencionado, no solo impact� positivamente en la motivaci�n de los estudiantes para abordar tareas aut�nomas, sino que tambi�n contribuy� significativamente a mejorar sus calificaciones y, por ende, su rendimiento acad�mico en la asignatura de �lgebra lineal, la cual forma parte del programa de la carrera de mec�nica automotriz.

 

Referencias

      1.            Ababu, T. (2020). A simplified expression for the solution of cubic polynomial equations using function evaluation. MathGm, 1-10.

      2.            Antoniou, S. M. (2022). Solving Polynomial Equations of Third, Fourth and Fifth Degree. Corinth, Greece: BSc Mathematics.

      3.            Fernando Galv�n, J. F. (2022). Curvas algebraicas. Editorial Sanz y Torres, S.L.

      4.            Lay, D. (2012). Algebra lineal y sus Aplicaciones (4ta. ed). Mexico: Pearson Educaci�n.

      5.            Ruiz L�pez, G. (2020). �lgebra para ingenieros. Madrid: Garc�a Maroto Editores.

      6.            Silva, J., & Lazo, A. (2000). Fundamentos de Matem�ticas. Noruega: Limusa Editores.

      7.            Wolters, D. J. (2021). Practical algorithm for solving the cubic equation. Numerical R�cipes, 1-16.

 

 

 

 

 

 

 

 

� 2024 por el autor. Este art�culo es de acceso abierto y distribuido seg�n los t�rminos y condiciones de la licencia Creative Commons Atribuci�n-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA 4.0)

(https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/).