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Simulaci�n Matem�tica del Transporte de Sedimentos en el R�o Chambo

 

Mathematical Simulation of Sediment Transport in the Chambo River

 

Simula��o Matem�tica do Transporte de Sedimentos no Rio Chambo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Correspondencia: hvilla@unach.edu.ec

 

Ciencias T�cnicas y Aplicadas

Art�culo de Investigaci�n

 

* Recibido: 02 de febrero de 2024 *Aceptado: 17 de febrero de 2024 * Publicado: �03 de marzo de 2024

 

       I.          M�ster Universitario en Ingenier�a Matem�tica y Computaci�n. Mag�ster en Seguridad Telem�tica. Docente en la Universidad Nacional de Chimborazo en la Facultad de Ciencias Pol�ticas y Administrativas. Riobamba-Ecuador.

 

Resumen

El an�lisis de concentraci�n de material s�lido se puede realizar utilizando datos reales y modelos num�ricos, sin embargo, estos estudios son escasos en la subcuenca del r�o Chambo. Por ello se puntualiza necesario desarrollar un modelo de transporte de part�culas materiales, siendo un aporte para investigaciones posteriores, que pretendan estimar la formaci�n de fen�menos de sedimentaci�n y socavaci�n que da�an al ecosistema y producci�n de la subcuenca. De acuerdo con lo expuesto se desarroll� un algoritmo de simulaci�n de un modelo num�rico en el software Matlab que representa el transporte de concentraci�n de part�culas materiales. As� pues, se consider� necesario simular el afluente m�ximo de crecida en ANSYS FLUID FLOW, esto permiti� conocer el r�gimen de turbulencia caracterizando que a lo largo del trayecto el r�gimen de turbulencia permanece estacionario. Mediante m�todo de Diferencias Finitas Retardadas y el m�todo Expl�cito de Euler se elabora el modelo de transporte num�rico en MATLAB para las matrices de diferenciaci�n. Es as� como se simulan los t�rminos advectivo y temporal aplicando el modelo de transporte num�rico. Se utilizaron datos constantes para la pendiente longitudinal (23,95%) y velocidad (16,16 m/s) de flujo de la subcuenca. Los resultados obtenidos mostraron una incertidumbre aceptable y se corrobor� la factibilidad del modelo de simulaci�n de part�culas materiales en el trayecto del afluente.

Palabras Clave: Flujo; Modelos num�ricos; Simulaci�n computacional; Subcuenca; Transporte de concentraci�n de sedimentos.

 

Abstract

The analysis of solid material concentration can be carried out using real data and numerical models, however, these studies are scarce in the Chambo River sub-basin. For this reason, it is necessary to develop a transport model of material particles, being a contribution for subsequent research, which aims to estimate the formation of sedimentation and scour phenomena that damage the ecosystem and production of the subbasin. In accordance with the above, a simulation algorithm of a numerical model was developed in the Matlab software that represents the concentration transport of material particles. Therefore, it was considered necessary to simulate the maximum flood tributary in ANSYS FLUID FLOW, this allowed us to know the turbulence regime, characterizing that along the path the turbulence regime remains stationary. Using the Delayed Finite Difference method and Euler's Explicit method, the numerical transport model is developed in MATLAB for the differentiation matrices. This is how the advective and temporal terms are simulated by applying the numerical transport model. Constant data were used for the longitudinal slope (23.95%) and velocity (16.16 m/s) of flow of the subbasin. The results obtained showed an acceptable uncertainty and the feasibility of the simulation model of material particles in the tributary path was corroborated.

Keywords: Flow; Numerical models; Computer simulation; Subbasin; Sediment concentration transport.

 

Resumo

A an�lise da concentra��o de materiais s�lidos pode ser realizada utilizando dados reais e modelos num�ricos, no entanto, estes estudos s�o escassos na sub-bacia do rio Chambo. Por esse motivo, faz-se necess�rio o desenvolvimento de um modelo de transporte de part�culas materiais, sendo uma contribui��o para pesquisas posteriores, que visam estimar a forma��o de fen�menos de sedimenta��o e eros�o que prejudicam o ecossistema e a produ��o da sub-bacia. De acordo com o exposto, foi desenvolvido um algoritmo de simula��o de um modelo num�rico no software Matlab que representa o transporte de concentra��o de part�culas de material. Portanto, considerou-se necess�rio simular o tribut�rio de cheia m�xima no ANSYS FLUID FLOW, isso permitiu conhecer o regime de turbul�ncia, caracterizando que ao longo do caminho o regime de turbul�ncia permanece estacion�rio. Utilizando o m�todo de Diferen�as Finitas Atrasadas e o m�todo Expl�cito de Euler, o modelo num�rico de transporte � desenvolvido em MATLAB para as matrizes de diferencia��o. � assim que os termos advectivos e temporais s�o simulados atrav�s da aplica��o do modelo num�rico de transporte. Foram utilizados dados constantes para declividade longitudinal (23,95%) e velocidade (16,16 m/s) de vaz�o da sub-bacia. Os resultados obtidos apresentaram uma incerteza aceit�vel e foi corroborada a viabilidade do modelo de simula��o de part�culas de material no caminho tribut�rio.

Palavras-chave: Fluxo; Modelos num�ricos; Simula��o de computador; Sub-bacia; Transporte de concentra��o de sedimentos.

 

Introducci�n

Los sedimentos son part�culas s�lidas y pueden ser clasificados como limo, arcilla, arena y entre otras, es decir, todo material que se desprende en zonas aleda�as y son depositadas en el fondo del caudal (Garc�a & Maza, Manual de Ingenier�a de R�os, 1996). Seg�n sus resultados Aksoy et al. (2019) mencionan que las erosiones y el proceso de transporte de sedimentos en los r�os est� relacionado con el cambio clim�tico y antropog�nico; en muchas zonas, la intensidad de las precipitaciones act�a de manera directa en la erosi�n pluvial. Adem�s, causas como la agricultura originan deterioros y esto es el inicio del proceso del transporte de sedimentos en el caudal, provocando p�rdida de altura e incluso inundaciones, tambi�n uno de los factores que a veces no se considera es la demograf�a que acelera el cambio en la cobertura del suelo, por tanto, es necesario contar con datos reales y de laboratorio que ayude a la toma de decisiones sobre la capacidad de cuidado del afluente. El estudio de caudales es de suma importancia para el cuidado del ambiente que est� a su alrededor, del mismo modo, el an�lisis de modelos de transporte de sedimentos permite caracterizar el ecosistema de un r�o y entender los diferentes fen�menos que act�an en el proceso, esto se complementa al momento de elaborar un modelo de simulaci�n ya sea en 2D (Basri et al.,�(2020 p. 4). La investigaci�n de �Abad, (2008) mostr� la dificultad que existe al momento de realizar el modelamiento f�sico o num�rico en r�os, y presentaron el an�lisis de un modelo hidrodin�mico, para transporte de sedimentos y de morfolog�a del lecho promediado en profundidad en 2D a la cual le denominaron STREMR HySeD.

Lepesqueur et al.�(2018) indican que la mayor�a de modelos no toman en cuenta las propiedades de los sedimentos en suspensi�n como la densidad y la distribuci�n del lugar de las part�culas, enfocados en lo anterior desarrollaron un modelo hidromorfodin�mico con acoplamiento TELEMAC-3D (v7p1) y SISYPHE (v7p1) ambas proporcionadas por TELEMAC-MASCARET. Esto permiti� mejorar la parametrizaci�n de los sedimentos, evaluando el par�metro agregado ejecutaron la simulaci�n de un evento de inundaci�n del r�o Orne ubicado en Francia obteniendo resultados favorables al agregar y mejorar el modelo de sedimentos basado en una distribuci�n granulom�trica de sedimentos y densidad de sedimentos distribuida. Usando la misma metodolog�a Cusipuma et al. (2018) aplicando el modelo hidrodin�mico (Telemac-2D) simularon un tramo curvo del r�o madre de Dios, donde recalcan que subestima las velocidades en un 36%, aplicando una correcci�n de flujo minimizan estos valores. La aplicaci�n de un modelo hidrodin�mico completo realizado por Torres et al. (2022), mostr� resultados aceptables, sin embargo, se�alan que a�n se puede incluir m�s par�metros que permita aumentar la sensibilidad del modelo, tambi�n proponen realizar estudios en diferentes �pocas clim�ticas.

Hajigholizadeh et al. (2018) aclaran que el proceso de erosi�n y el transporte de sedimentos es causado por el proceso de la precipitaci�n y escurrimiento lo que genera la transferencia de materiales a lo largo del r�o. De acuerdo a ello elaboran una revisi�n bibliogr�fica de los diversos modelos de transferencia desarrollados por otros investigadores determinando que se puede caracterizar por modelos emp�ricos, conceptuales, f�sicos e h�bridos. Los resultados indicaron que el Programa de Simulaci�n Hidrol�gica, Fortran (HSPF), adopta un modelo conceptual de acceso libre y aborda problemas de carga m�xima diaria total de sedimentos y nutrientes, adem�s calcula la socavaci�n o deposici�n de sedimentos cohesivos bajo el esfuerzo cortante del lecho. El modelo Soil and Water Assessment Tool (SWAT) considerado como continuo y de uso regional la cual opera en un paso de tiempo y es utilizado para predecir aguas superficiales y subterr�neas. As� mismo los modelos h�bridos como THORNES, IHACRES-WQ, SEDNET y Automated Geospatial Watershed Assessment (AGWA) juegan un papel importante ya que pueden utilizarse para pronosticar vulnerabilidades de erosi�n h�drica y reducci�n de productividad en laderas. De acuerdo a estos hallazgos consideraron que el modelo adecuado depende mucho del objetivo y de las preguntas de investigaci�n y tambi�n mencionan que se debe considerar la validaci�n del modelo, escalas espaciales, temporales, entre otros.

Godoy et al. (2020) analizan diferentes puntos de muestreo de sedimentos a lo largo del r�o Chibunga, con el fin de enfocar la sostenibilidad del tratamiento de estos sedimentos. Sus resultados mostraron una sostenibilidad baja, luego para las muestras 5 y 6 se obtuvo un valor del �ndice de sostenibilidad de cuencas WSI < 0.5, la sostenibilidad media se obtuvo para los puntos 1 al 4 con valores de WSI entre 0.5 a 0.8. Del an�lisis elaborado se opt� por realizar el tratamiento de sedimentos en los puntos 5 y 6 mediante tecnolog�as de biorremediaci�n. Por otra parte, el trabajo desarrollado por Arias y P�rez�(2018) tuvo el fin de realizar un estudio hidr�ulico del r�o Chambo donde sus resultados mostraron que el r�o alcanza una profundidad m�xima de 2,6 m en �poca seca y 5,3 m en �poca lluviosa, esto se llev� a cabo con el fin de determinar zonas de inundaci�n mediante el m�todo HEC-RAS, identific�ndose los meses de mayo y junio con mayores sucesos de precipitaci�n.

En la actualidad los estudios del transporte de part�culas materiales a lo largo del r�o Chambo son escasos, por lo que se plante� elaborar un modelo que represente de manera �ptima el transporte de sedimentos bajo ciertas condiciones. Por tal motivo, en la investigaci�n se presentaron las caracter�sticas fluviales del r�o manteniendo los par�metros de la pendiente longitudinal (23,95%) y velocidad (16,16 m/s) constantes a lo largo del trayecto. Las especificaciones y par�metros constantes del modelo determinan futuras investigaciones que analicen la altura de la cuenca y la variabilidad de la velocidad en curvas. Esto ser� posible mediante el uso de tecnolog�as que permitan simular estos fen�menos en 3D utilizando programas como HYDRO-BID, FLUID FLOW, entre otros donde se pueda observar de manera gr�fica el comportamiento de los caudales.

Por lo cual la investigaci�n se bas� en desarrollar y modelar el fen�meno de transporte de part�culas materiales s�lidas mediante el M�todo de Diferencias Finitas. Como primer paso, usando el software ANSYS, se caracteriz� el tipo y sistema de flujo, lo que ayud� a predecir valores semejantes y �ptimos del volumen y concentraci�n de transporte. El desarrollo del algoritmo de simulaci�n se realiz� en Matlab R2013 desarrollado por Cleve Moler en M�xico, se consider� los par�metros de profundidad y longitud uniforme, conformado por dos componentes: difusi�n y advecci�n, sin embargo, en este estudio se pretende modelar solo con el par�metro de advecci�n y se estableci� un valor del t�rmino de Courant-Friedrichs-Lewy, como una condici�n de convergencia para las ecuaciones diferenciales. En el sentido acad�mico el estudio puede ser pionero para nuevas investigaciones con el fin de optimizar el modelo de simulaci�n a la realidad del caudal, tomando en cuenta m�s especificaciones como a�adir el t�rmino difusivo, variable que no se consider� al momento de plantear el modelo.

Metodolog�a

Ubicaci�n

La investigaci�n toma como �rea de estudio la subcuenca del r�o Chambo (figura 1), la cual pertenece a la vertiente Atl�ntica en la cordillera de los Andes en cuenca alta del r�o Pastaza ubicado en el centro del Ecuador Continental con una longitud total de 273 km y un �rea de 3571 km2 (Arias & P�rez, 2018). Donde se realiza la recolecci�n de datos como velocidad, caudal y barimetr�a en diferentes puntos estrat�gicos.

Figura 1. Ubicaci�n geogr�fica del R�o Chambo

Fuente. Elaboraci�n propia

Simulaci�n del Flujo de Fluidos

Se tom� la direcci�n horizontal para el flujo de masa incompresible y permanente de sedimentos en un �rea determinada, de modo que, el flujo de masa de sedimento se considere continuo. De acuerdo con esta condici�n la investigaci�n se desarroll� bajo t�rminos macrosc�picos, ya que si se considera un estudio microsc�pico las ecuaciones no presentan resultados posibles. Actualmente existe carencia de informaci�n de la variabilidad de sedimentos en la subcuenca, por lo que se consider� emplear datos tomados del trabajo de Arias y P�rez (2018), extrayendo la velocidad y el promedio de caudales, importantes para el desarrollo del modelo matem�tico.

La capa de fondo se considera a la carga y transporte de sedimentos, esto para suprimir la alta velocidad del flujo lo cual puede provocar cambios en la viscosidad. De acuerdo con la naturaleza del movimiento los sedimentos y el volumen de agua se incluy� leyes de dispersi�n y difusi�n en el modelo, de todo eso se asume el transporte seg�n el patr�n advectivo y difusivo. Considerando un flujo turbulento estable y uniforme, se model� aplicando ecuaciones de energ�a, Darcy.Weisbach y Chezy-Manning, con un factor de fricci�n constante utilizando el programa ANSYS R19.2 -FLUID FLOW desarrollado por ANSYS y Flite Software NI Ltd respectivamente, que usa el m�todo de vol�menes finitos para modelar el flujo aproximado de la subcuenca.

Muchos de los problemas pueden ser modelados aplicando ecuaciones diferenciales ya sean ordinarias o parciales ya que su deducci�n no es tan dif�cil, sin embargo, las soluciones por m�todos exactos se obtienen para casos muy particulares. Por lo que en la pr�ctica no se logran obtener dichas soluciones anal�ticas, entonces para poder mitigar este inconveniente se recurre a los m�todos num�ricos con el fin de obtener interpretaciones del dise�o y an�lisis con un grado de aproximaci�n aceptable al problema en estudio. Todo lo mencionado se puede apreciar en la Figura 2.

 

Figura 2. Representaci�n general del proceso de abordaje de los problemas

Fuente. Elaboraci�n propia

Tabla 1. Caracter�sticas de la subcuenca del r�o Chambo

Criterio	Valor	Detalle
Factor de Forma	0.69	Crecida con fuertes lluvias
Pendiente media de la cuenca	23.95%	Indica lo accidentado de la cuenca
Elongaci�n� de la cuenca	0,94	Relieve pronunciado
Velocidad		Constante a lo largo del trayecto
Radio hidr�ulico	0,75	constante
Profundidad	2,60m	constante

Fuente. Elaboraci�n propia

 

 

 

Construcci�n del Modelo Anal�tico

El modelo anal�tico fue elaborado de acuerdo a los lineamientos relacionados con el flujo, as� mismo, tomando en cuenta los resultados obtenidos en la simulaci�n de flujos. Posteriormente se analiz� el transporte de part�culas y se limitaron las condiciones para la construcci�n del modelo, esto fue necesario para disminuir la complejidad y el coste computacional.

Bajo los criterios de fen�menos de difusi�n y advecci�n se plantea la ecuaci�n (1):

����������������� (1)

Donde �representa al t�rmino difusivo, y �la velocidad de caudal definida a partir de los datos del afluente hist�rico de la subcuenca; �representa la concentraci�n promedio (tabla 4) de part�culas para r�os (Arias & P�rez, 2018). Sin embargo, el modelo de simulaci�n no tom� en cuenta el t�rmino difusivo.

La velocidad del flujo se calcul� empleando la ecuaci�n 2, con C como el coeficiente de Chezy equivalente a , utilizando del valor de paredes �speras �y fue extra�do del sistema internacional, con radio hidr�ulico de �y S es la pendiente longitudinal.

 

���������������� (2)

Se ha tomado en cuenta una sola dimensi�n en atenci�n a los criterios de complejidad y el coste computacional ya que, para la ejecuci�n de este tipo de simulaciones en 2 o m�s dimensiones se requiere de otro tipo de software, as� tambi�n recursos computacionales adicionales para poder realizar una operaci�n adecuada de los resultados gr�ficos que se desear�a obtener dentro de la simulaci�n, resultados que al no tener los elementos necesarios fueran completamente err�neos.

 

Modelado Num�rico y Algoritmo de Resoluci�n

Para la soluci�n num�rica fue necesario el uso de la CFD (Computacional Fluid Dinamics). El modelado se desarrolla a partir de la ecuaci�n (2), adem�s no se considera la incorporaci�n del t�rmino difusivo, seg�n el resultado obtenido de la simulaci�n en ANSYS. Se definieron condiciones de frontera e iniciales, dadas por las ecuaciones (3) y (4) (Haberman, 2003).

�,������������ (3)

Donde �es la longitud media de la subcuenca, mientras que �y �son la condici�n final e inicial.������������

�������������� (4)

Hamming (1987) realiza la transformaci�n de la ecuaci�n (1) y las condiciones de contorno bajo un sistema de ecuaciones algebraicas discretas para el tiempo y las variables espaciales. Bajo el esquema de �Euler expl�cito� se desarrolla el cambio de las variables continuas a la forma discreta temporal, obteniendo la ecuaci�n (5):

����������� (5)

Con �que representa la variaci�n del tiempo, C es la concentraci�n, �es el par�metro de la velocidad y n el n�mero de puntos interiores en el dominio. Hirsch (2007) analiza� �usando la derivada espacial mediante diferencias finitas atrasadas de primer orden de la advecci�n para la condici�n inicial , dando como resultado la ecuaci�n (6):

�������������� (6)

Disponiendo de la ecuaci�n (5) y (6) da como resultado la ecuaci�n (7):

��������������� (7)

Donde N representa el n�mero de pasos temporales.

 

Muestra

Para este estudio se tom� los datos publicados por el Consejo Nacional de Recursos H�dricos (2007), de este modo se tuvo promedios de caudales hist�ricos (tabla 2), para ello se utiliz� el aporte de cada microcuenca, excluyendo los valores de drenajes. Adem�s, es importante se�alar que estos valores no representan rendimientos naturales, pues estas son afectadas por canales de riego que existen aguas arriba y no se puede rehacer un r�gimen natural. Como se pudo apreciar cada una de las microcuencas y drenajes aportan una proporci�n de part�culas materiales, donde se estim� una media total de 6.43%, la microcuenca que m�s aporta es Blanco (2,51%) seguido por Guilles (1.53%). Quienes tienen un aporte de m�s del 1%, mientras que las dem�s est�n por debajo de este porcentaje (Tabla 2).

Tabla 2. Caudal (Q) de las microcuencas y drenajes del r�o Chambo (m^3/s), 1963-2005

Microcuenca	T1	T2	T3	T4	Anual	%
Ozogoche	9,579	10,406	4,128	7,479	7,898	3.1	0.63
Guamote	2,927	4,326	1,041	2,254	2,640	2	0.25
Alao	5,053	7,088	4,350	4,300	5,200	2.2	0.29
Puela	10,908	17,068	14,226	10,186	13,100	2.9	0.50
Blanco	1,644	2,440	1,418	1,677	1,790	6.8	2.51
Chibunga	15,869	21,371	14,669	14,666	16,640	3.2	0.60
Guilles	6,470	8,544	6,052	6,064	5,780	5.3	1.53
Yasipan	4,769	5,156	2,056	3,691	3,920	1.3	0.11
Drenaje 1	1,437	1,966	1,012	1,459	1,470	0.9	0.05
Drenaje 2	8,096	11,027	7,456	7,631	8,550	0.9	0.05

Fuente. Elaboraci�n propia

Analizando la capacidad de transporte Tabla (3), se observ� un alto aporte de las microcuencas Chibunga, seguido por Guilles y en tercer lugar la de Puela, A pesar de la contribuci�n de los dem�s r�os, estas son las m�s elevadas, asimismo se pudo apreciar que los drenajes no muestran ayuda significativa en la capacidad de transporte de caudal s�lido en el R�o Chambo.

 

Tabla 3. Capacidad de transporte (Q_s) de part�culas materiales de r�o Chambo, 1963-2005

 

Microcuenca	T1	T2	T3	T4	Anual
Ozogoche	5,173	5,619	2,229	4,039	4,265
Guamote	0,732	1,082	0,260	0,564	0,660
Alao	1,465	2,056	1,2615	1,247	1,508
Puela	5,454	8,534	7,113	5,093	6,55
Blanco	4,126	6,124	3,559	4,209	4,493
Chibunga	9,521	12,823	8,801	8,799	9,984
Guilleas	9,899	13,072	9,259	9,277	8,843
Yasipan	0,525	0,567	2,056	0,226	0,431
Drenaje 1	0,072	0,098	0,051	0,073	0,074
Drenaje 2	0,405	0,551	0,373	0,382	0,4275

Fuente. Elaboraci�n propia

En la Tabla (4) se incluyeron los par�metros iniciales que fueron utilizados en el modelo de simulaci�n, los pasos temporales, longitud de la subcuenca y entre otras. El factor de escala se utiliza para minimizar el avance seg�n el tiempo, por lo que el valor de 273000 m ser� igual a la unidad.

Tabla 4. Par�metros asociados para el modelo de simulaci�n del r�o Chambo

Par�metros	Valor
Puntos interiores del dominio ()
Pasos temporales ()
Pendiente longitudinal promedio ()
Superficie de la subcuenca ()
T�rmino de Courant-Friedrichs-Lewy ()
Longitud de la subcuenca (longitud del dominio) ()
Condici�n inicial ()

Fuente. Elaboraci�n propia

Para la soluci�n num�rica fue necesario el uso de la CFD (Computacional Fluid Dinamics), para ello se dividi� en tres etapas o procesos, lo que permiti� separar la parte temporal de la espacial, formando sistema de ecuaciones discretas y fue fundamental aplicar el m�todo de diferencias finitas. Adem�s, se hizo uso de la condici�n de Dirichlet definiendo un campo vectorial y especificando los valores de las variables, Neuman que especifica el valor de las derivadas en direcci�n a la frontera y Mixta para las diversas condiciones de m�rgenes del dominio

Resultados y Discusi�n

El primer paso fue determinar el tipo de flujo del afluente a lo largo del r�o Chambo, para ello se analiz� el Factor de Eddy Compossition (Figura 2). Dicho valor mide o cuantifica la intensidad turbulenta que existe dentro de la subcuenca (Childress et al., 2012), esta se mantiene en color azul a lo largo del recorrido, adem�s asumimos un caudal l�quido con viscosidad y densidad constante, coeficiente de difusi�n en un r�gimen estacionario, por tanto, no existe variaciones bruscas en los estados difusivos.

En la Figura 3 se analiza la energ�a cin�tica turbulenta que asocia a los remolinos en el flujo turbulento, cuyo valor es igual a 0.0048 kg�m2/s2, mayor que cero y determina un flujo turbulento estable a lo largo de la subcuenca. Esto se puede observar en la simulaci�n desarrollada en ANSYS, observando seg�n la coloraci�n de valores a lo largo del trayecto de r�o.

Figura 3. Factor de Eddy Compossition de la subcuenca

�Fuente. Elaboraci�n propia

Figura 4. Energ�a cin�tica turbulenta del afluente

Fuente. Elaboraci�n propia

An�lisis del Modelo de Simulaci�n

El an�lisis, implementaci�n y simulaci�n, del modelo se realiz� en Matlab R2013 desarrollado por Cleve Moler en M�xico, para lo cual se consider� el tipo de flujo en r�gimen turbulento a lo largo del r�o Chambo resultado tomado de la simulaci�n en ANSYS (figura 3), se consider� los par�metros de profundidad y longitud uniforme. Esto con el fin de analizar la concentraci�n de sedimentos que son transportados a lo largo del caudal, el modelo conformado por dos componentes: difusi�n y advecci�n, sin embargo, en este estudio se pretende modelar solo con el par�metro de advecci�n y se establece un valor para el t�rmino de Courant-Friedrichs-Lewy, esto como una condici�n de convergencia para las ecuaciones diferenciales usado en derivadas parciales. Asumimos el caudal l�quido como compresible con el fin de mantener la viscosidad y densidad constantes, considerando una temperatura donde las propiedades f�sicas no tengan cambios significativos. As� mismo se asume la condici�n de no deslizamiento, lo cual es un criterio habitual para los fluidos viscosos, esto fue para dar prioridad al sistema solidario con el fluido nulo y velocidad relativa entre la extensi�n del s�lido analizado.

El algoritmo fue desarrollado en Matlab, dividido en varias rutinas en la cual se gener� una soluci�n exacta y una soluci�n num�rica, para ello se emple� la condici�n inicial de �(la concentraci�n estimada de part�culas de fondo es ) (tabla 2)). La comparaci�n de las dos soluciones planteadas se puede observar en la Figura 5, 6 y7, donde x representa el paso de tiempo y u representa el promedio de part�culas s�lidas del modelo num�rico y del modelo exacto. Los resultados de la simulaci�n muestran una oscilaci�n de la concentraci�n de sedimentos tanto del modelo exacto como del num�rico, y despu�s de un determinado tiempo se estabiliza viajando a lo largo del caudal. Adem�s, se observa que al final la concentraci�n de estas part�culas se disipa o reduce, por ello se plante� que una parte significativa de las part�culas materiales se sedimentan y esto puede provocar un fen�meno de socavaci�n, reducci�n del volumen de agua, disminuci�n de la profundidad del agua, entre otros.

Figura 5. a) Simulaci�n de concentraci�n de part�culas de material s�lido

Fuente. Elaboraci�n propia

Dentro de la simulaci�n se consider� dos condiciones de frontera, una que est� relacionada a la consistencia matem�tica por tener resultados oscilatorios y otra que est� asociada al fen�meno f�sico ya que la concentraci�n de sedimentos se encuentra bajo un r�gimen turbulento estacionario, sin embargo, se asume un caudal l�quido con viscosidad y densidad constante, debido a esto tambi�n se tom� el coeficiente de difusi�n en un r�gimen estacionario lo que indica que no existe variaciones bruscas en los estados difusivos. Adem�s, la simulaci�n tom� en cuenta una sola dimensi�n, lo cual limita cientos casos de estudio, por lo que se model� solo el transporte de caudal s�lido de part�culas, �stas viajan en un sistema solidario en funci�n de la pendiente longitudinal en una sola direcci�n a lo largo de la subcuenca este caso aplica para la Figura 6 y 7.

 

Figura 6. b) Simulaci�n de concentraci�n de part�culas de material s�lido

Fuente. Elaboraci�n propia

Las soluciones obtenidas al aplicar el modelo num�rico y exacto permitieron el c�lculo de su error mediante la diferenciaci�n entre el valor exacto y el num�rico. Obteniendo un error de 0,053 y se comprueba la no significancia del error, de lo expuesto se afirma que los resultados obtenidos para �utilizando el m�todo num�rico planteado es �ptimo y estable de manera lineal en funci�n del tiempo. Adem�s, se garantiza la consistencia mediante los esquemas de Preismman (Samuels & Skeels, 1990).

�Figura 7. c) Simulaci�n de concentraci�n de part�culas de material s�lido

Fuente. Elaboraci�n propia

Discusi�n

Investigaciones referentes al transporte de sedimentos al largo del r�o Chambo son escasos y seg�n lo afirmado por Abad et al., (2008), existe una gran dificultad al momento de plantear los modelos f�sicos o matem�ticos, por lo que se plante� como primer modelo que simula el transporte de part�culas materiales considerando en su ecuaci�n solamente el t�rmino de advecci�n, con pendiente longitudinal (23,95%) y velocidad (16,16 m/s) uniformes o constantes. El an�lisis de errores entre el modelo num�rico y el modelo exacto desarrollado en Matlab cuantific� un error aproximado de e = 0.053, el valor calculado result� no significativo concluyendo la estabilidad del modelo de simulaci�n desarrollado y permitiendo la confiabilidad de los resultados, de acuerdo con Rodr�guez et al., (2019) el estudio mostr� altas incertidumbres debido a problemas presentados durante la recolecci�n de datos y los m�todos empleados, la simulaci�n fue ejecutado en el software HEC-RAS con informaci�n recolectada del r�o Garrapata-Chone, aunque en esta investigaci�n la incertidumbre fue baja no significa que el modelo sea excelente. Los resultados mostraron una oscilaci�n para el modelo num�rico y exacto, luego de un tiempo las part�culas materiales se reducen lo que significa que a lo largo del trayecto se sedimentan y puede ocasionar problemas de socavaci�n, reducci�n del volumen de agua, disminuci�n de la profundidad del agua. Detectar estos problemas es de gran importancia al momento de abordar temas de conservaci�n del medio y asegurar la calidad de vidas en zonas bajas del r�o.

 

Conclusiones

El sistema de flujo de la cuenca del r�o Chambo result� tener un r�gimen aproximadamente estacionario seg�n el factor de turbulencia y los resultados mostraron una oscilaci�n tanto para el modelo num�rico y exacto, luego de un tiempo estas part�culas disminuyen lo que significa que a lo largo del trayecto se sedimentan. El an�lisis de errores entre el modelo num�rico y el modelo exacto cuantific� un error aproximado de e = 0.053, el valor calculado result� no significativo concluyendo la estabilidad del modelo de simulaci�n desarrollado y permitiendo la confiabilidad de los resultados. Sin embargo, este estudio no consider� el t�rmino difusivo dentro del modelo por lo que es recomendable realizar estudios que permitan mejorar la sensibilidad del modelo con la inclusi�n de nuevos par�metros

 

Referencias

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