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Simulacin Numrica del Modelo de Lighthill-Whitham-Richards mediante el Mtodo de Diferencias Finitas
Numerical Simulation of the Lighthill-Whitham-Richards Model using the Finite Difference Method
Simulao Numrica do Modelo Lighthill-Whitham-Richards utilizando o Mtodo das Diferenas Finitas
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Correspondencia: eduardo.pozo@espoch.edu.ec
Ciencias Tcnicas y Aplicadas
Artculo de Investigacin
* Recibido: 19 de abril de 2024 *Aceptado: 03 de mayo de 2024 * Publicado: 09 de junio de 2024
I. Escuela Superior Politcnica de Chimborazo (ESPOCH), Ecuador.
II. Investigador Independiente, Ecuador.
Resumen
La congestin del trfico vehicular representa un problema crtico en reas urbanas. Este estudio se enfoca en la ecuacin Lighthill-Whitham-Richards (LWR) para modelar el flujo de trfico vehicular, implementando dos esquemas de diferencias finitas: Forward-Time Backward-Space (FTBS) y DuFort-Frankel, utilizando Python para la simulacin y anlisis del trfico. Los resultados indican que el esquema FTBS es ms adecuado para la ecuacin LWR debido a su convergencia y capacidad de aproximar correctamente la solucin. El anlisis de consistencia, estabilidad y convergencia confirm que el esquema FTBS ofrece una solucin precisa y estable, hacindolo ideal para aplicaciones prcticas en la modelacin del trfico vehicular. En contraste, el esquema DuFort-Frankel, aunque consistente con la ecuacin de difusin, no es adecuado para la ecuacin LWR debido a su naturaleza hiperblica. Este trabajo proporciona una herramienta eficaz para abordar la congestin del trfico vehicular a travs de simulaciones numricas.
Palabras clave: Trfico vehicular; Congestin del trfico; Ecuacin Lighthill-Whitham-Richards; Diferencias finitas; Esquema Forward-Time Backward-Space; Esquema DuFort-Frankel.
Abstract
La congestin del trfico de vehculos representa un problema crtico en las zonas urbanas. Este estudio se centra en el sistema Lighthill-Whitham-Richards (LWR) para modelar el flujo de trfico de vehculos, implementando esquemas de diferencias finitas: Forward-Time Backward-Space (FTBS) y DuFort-Frankel, utilizando Python para simulacin y anlisis de trfico. Los resultados indican que el esquema FTBS es ms adecuado para la ecuacin LWR debido a su convergencia y capacidad para aproximar correctamente la solucin. El anlisis de coherencia, estabilidad y convergencia confirm que el esquema FTBS ofrece una solucin precisa y estable, lo que lo hace ideal para aplicaciones prcticas en el modelado del trfico de vehculos. Por el contrario, el esquema de DuFort-Frankel, aunque consistente con la ecuacin de difusin, no es adecuado para la ecuacin LWR debido a su naturaleza hiperblica. Este trabajo proporciona una herramienta eficaz para abordar la congestin del trfico de vehculos mediante simulaciones numricas.
Palabras clave: Trfico de vehculos; La congestin del trfico; Ecuacin Lighthill-Whitham-Richards; Diferencias finitas; Esquema de avance-tiempo-retroespacio; Esquema DuFort-Frankel.
Resumo
O congestionamento do trfego automvel representa um problema crtico nas reas urbanas. Este estudo foca-se na equao de Lighthill-Whitham-Richards (LWR) para modelar o fluxo de trfego de veculos, implementando dois esquemas de diferenas finitas: Forward-Time Backward-Space (FTBS) e DuFort-Frankel, utilizando o Python para simulao e anlise de trfego. Os resultados indicam que o esquema FTBS mais adequado para a equao LWR devido sua convergncia e capacidade de aproximar corretamente a soluo. A anlise de consistncia, estabilidade e convergncia confirmou que o esquema FTBS oferece uma soluo precisa e estvel, tornando-o ideal para aplicaes prticas na modelao de trfego de veculos. Em contraste, o esquema DuFort-Frankel, embora consistente com a equao de difuso, no adequado para a equao LWR devido sua natureza hiperblica. Este trabalho fornece uma ferramenta eficaz para lidar com o congestionamento do trfego de veculos atravs de simulaes numricas.
Palavras-chave: Trfego de veculos; trfego congestionado; Equao de Lighthill-Whitham-Richards; Diferenas finitas; Esquema do espao retroativo no futuro; Esquema DuFort-Frankel.
Introduccin
La congestin del trfico vehicular es un problema crtico que afecta a numerosas reas urbanas a nivel mundial, generando prdidas econmicas, contaminacin ambiental y deterioro en la calidad de vida de los ciudadanos. Este estudio se enfoca en modelar el flujo de trfico vehicular mediante la ecuacin Lighthill-Whitham-Richards (LWR), una ecuacin diferencial parcial hiperblica que describe la conservacin del nmero de vehculos en una carretera.
El objetivo de esta investigacin es implementar y analizar dos esquemas de diferencias finitas, Forward-Time Backward-Space (FTBS) y DuFort-Frankel, utilizando Python para la simulacin y anlisis del trfico vehicular. Este estudio busca determinar cul de estos esquemas proporciona una solucin ms precisa y estable para la ecuacin LWR.
La relevancia de este estudio radica en la necesidad de encontrar mtodos eficientes y precisos para modelar el trfico vehicular, lo que puede contribuir significativamente a la planificacin urbana y a la implementacin de medidas para mitigar la congestin del trfico. La utilidad de estos modelos matemticos se extiende a la optimizacin de sistemas de transporte y la mejora en la gestin del trfico.
La fundamentacin terica de este estudio se basa en la revisin de la literatura existente sobre modelos matemticos de trfico vehicular. La ecuacin Lighthill-Whitham-Richards, propuesta por Lighthill y Whitham (1955) y Richards (1956), es uno de los modelos ms utilizados para describir el flujo de trfico. Los mtodos numricos, como los esquemas de diferencias finitas, son herramientas fundamentales en la resolucin de ecuaciones diferenciales parciales. El esquema FTBS, conocido por su simplicidad y eficiencia en problemas hiperblicos, y el esquema DuFort-Frankel, utilizado frecuentemente en ecuaciones de difusin, fueron seleccionados para este estudio debido a sus caractersticas especficas y su potencial aplicacin en la modelacin del trfico.
Materiales y Mtodos
Materiales
En esta investigacin se utilizaron los siguientes materiales:
Lenguaje de programacin Python.
Ordenador y equipos de oficina.
Metodologa
La presente investigacin se centr en la aplicacin del mtodo de diferencias finitas para la simulacin del modelo Lighthill-Whitham-Richards (LWR), el cual describe el flujo vehicular y as obtener una visualizacin de los perfiles de densidad del trfico en una va especfica. Mediante el uso de este mtodo numrico, se busc proporcionar una representacin detallada y precisa de cmo vara la densidad vehicular a lo largo del tiempo y el espacio, permitiendo as una mejor comprensin de los patrones de trfico y facilitando la toma de decisiones informadas en la gestin y planificacin del transporte.
La formalizacin del problema se puede describir de la siguiente manera: el modelo LWR se basa en una ecuacin diferencial parcial hiperblica que representa la conservacin del nmero de vehculos (Omkar & Kumar, 2018). Este modelo se resuelve utilizando esquemas de diferencias finitas, que permiten discretizar tanto el tiempo como el espacio, transformando as las ecuaciones diferenciales en un sistema de ecuaciones algebraicas que pueden ser resueltas de manera iterativa (Treiber & Kesting, 2013).
La implementacin de estos esquemas se realiz en Python, utilizando bibliotecas como NumPy para el manejo eficiente de matrices y operaciones numricas. La precisin y estabilidad de los esquemas de diferencias finitas fueron evaluadas para asegurar que los resultados obtenidos sean fiables y representativos del comportamiento real del trfico vehicular.
En resumen, la metodologa adoptada en esta investigacin no solo permiti simular el modelo LWR de manera efectiva, sino que tambin proporcion herramientas analticas para la visualizacin y comprensin de los perfiles de densidad de trfico, contribuyendo significativamente a la literatura existente sobre la gestin del flujo vehicular y la optimizacin del transporte.
Modelo Matemtico
La ecuacin Lighthill-Whitham-Richards se utiliza para modelar el flujo de trfico vehicular. Esta ecuacin se describe mediante una ecuacin diferencial parcial hiperblica que representa la conservacin del nmero de vehculos.
El
anlisis y modelado del trfico vehicular comenz en los aos 30 con Bruce
Douglas Greenshields, quien fue pionero en el uso de mtodos fotogrficos y
matemticos para medir diferentes variables relacionadas con el flujo de
trfico y describir su comportamiento (Greenshields
et al., 1934). Greenshields propuso una relacin
lineal entre la velocidad y la densidad del trfico, expresada como 
,
donde 
es
la velocidad de flujo y 
es
la densidad del trfico.
En
1955, James Lighthill y Gerald Whitham formularon una ecuacin diferencial que
describe el flujo de trfico utilizando la dinmica de fluidos (Lighthill
& Whitham, 1955). Este modelo, conocido como el
modelo Lighthill-Whitham-Richards (LWR), considera que ningn vehculo entra o
sale de la va, conservndose as el nmero total de vehculos. Al aplicar la
ecuacin de conservacin de masa para cualquier problema de flujo en un dominio
acotado y fijo, se tiene que la densidad del trfico en el punto 
y
en el tiempo 
,
denotada por 
,
satisface la siguiente ecuacin:
donde
es
el flujo de trfico, que est relacionado con la densidad y
la velocidad 
por
la relacin fundamental:
La ecuacin de Lighthill-Whitham-Richards es una ecuacin diferencial parcial hiperblica que captura la dinmica del flujo de trfico vehicular, proporcionando una herramienta esencial para el anlisis y prediccin del comportamiento del trfico (Richards, 1956).
A
continuacin, se considera el problema de valor inicial dependiente del tiempo,
definido en un dominio acotado 
,
donde se busca 
tal
que:
Adicionalmente,
la densidad de trfico de los vehculos est relacionada con el flujo 
y
la velocidad uu segn la siguiente relacin:
El
modelo de Greenshields conecta la densidad de trfico 
y
la velocidad del trfico 
mediante
una relacin lineal expresada como:
donde
representa
la velocidad del trfico en una densidad de trfico dada; 
es
la velocidad de flujo libre, que representa la velocidad mxima cuando la
densidad del trfico es baja, y 
es
la densidad mxima de trfico que la carretera puede manejar sin congestin.
Es crucial que el modelo LWR est bien formulado, asegurando que sus soluciones garanticen existencia, unicidad y estabilidad. Estas propiedades son fundamentales para que el problema tenga soluciones significativas, estables y predecibles. En el artculo "Coupling of LighthillWhithamRichards and Phase Transition Models" se demuestra la existencia de soluciones al problema de Cauchy con datos iniciales arbitrarios de variacin acotada, utilizando la tcnica de seguimiento del frente de onda. Adicionalmente, el artculo "The Entropy Solutions for the Lighthill-Whitham-Richards Traffic Flow Model with a Discontinuous Flow-Density Relationship" ofrece una perspectiva detallada sobre las soluciones de entropa en el contexto del modelo LWR con una relacin flujo-densidad discontinua. Estos estudios son esenciales para entender las condiciones bajo las cuales el modelo LWR proporciona resultados confiables y aplicables en la gestin y optimizacin del trfico vehicular.
Discretizacin del modelo mediante diferencias finitas
La discretizacin del modelo LWR mediante esquemas de diferencias finitas es un enfoque efectivo para transformar las Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales en sistemas de ecuaciones algebraicas que pueden ser resueltas numricamente. Este mtodo permite aproximar las soluciones de la ecuacin LWR utilizando un conjunto finito de puntos en el tiempo y el espacio, facilitando su implementacin en programas de simulacin computacional. En este contexto, los esquemas de diferencias finitas, como el esquema Forward-Time Backward-Space (FTBS) y el esquema DuFort-Frankel, se emplean para discretizar la ecuacin LWR. Estos esquemas ofrecen propiedades nicas en trminos de estabilidad, consistencia y convergencia, y su correcta implementacin es esencial para garantizar la validez de los resultados obtenidos.
Discretizacin del dominio
Para
discretizar el dominio 
con
,
utilizamos una malla que divide tanto el espacio 
como
el intervalo de tiempo 
en
partes finitas. En primer lugar, la discretizacin del espacio se realiza
considerando 
,
un intervalo en el espacio. Este intervalo se divide en 
subintervalos
iguales, cada uno de longitud 
.
Los puntos discretos en el espacio se denotan por 
para
.
En cuanto a la discretizacin del tiempo, consideramos el intervalo
.
Este intervalo se divide en 
subintervalos
iguales, cada uno de longitud 
.
Los puntos discretos en el tiempo se denotan por 
para
.
La
malla en el dominio se
define por los pares 
,
donde 
es
un punto en el espacio y 
es
un punto en el tiempo. Esta malla crea una cuadrcula de puntos en la cual se
evaluarn las aproximaciones numricas, permitiendo la implementacin de
mtodos numricos para la simulacin del modelo Lighthill-Whitham-Richards
(LWR).
Esquema FTBS
Para llevar a cabo la formulacin en diferencias finitas de la ecuacin LWR mediante el esquema FTBS, se emplea una aproximacin hacia adelante para la derivada temporal y una aproximacin hacia atrs para la derivada espacial. La ecuacin diferencial parcial se discretiza de la siguiente manera:
Modelo LWR
Relacin fundamental de flujo de trfico:
Relacin entre velocidad y densidad:
Combinando estas ecuaciones, se obtiene la siguiente formulacin en diferencias finitas:
donde
y
.
Esquema DuFort-Frankel
El esquema DuFort-Frankel utiliza una aproximacin central de primer orden para la derivada temporal y una aproximacin central de segundo orden para la derivada espacial. La ecuacin de conservacin (1) se discretiza de la siguiente manera:
Modelo LWR:
y
Reemplazando
el trmino 
por
en
(11), se obtiene:
De modo que (2.23) quedar discretizada cmo sigue:
Relacin fundamental de flujo de trfico:
Relacin entre velocidad y densidad:
Por ende, la formulacin en diferencias
finitas del esquema DuFort-Frankel se expresa como:
Estabilidad, Consistencia y Convergencia de los esquemas
El anlisis de las propiedades de estabilidad, consistencia y convergencia de los esquemas FTBS y DuFort-Frankel es crucial para garantizar la precisin y la validez de las soluciones numricas obtenidas.
La consistencia de un esquema numrico indica su capacidad para aproximarse a la ecuacin diferencial original a medida que los pasos de discretizacin tienden a cero, lo cual se verifica mediante el desarrollo de Taylor para los esquemas FTBS y DuFort-Frankel en el modelo LWR. La estabilidad implica que los errores no se amplifiquen significativamente a lo largo del tiempo, evaluada mediante el anlisis de Von Neumann, que demuestra la estabilidad de ambos esquemas bajo ciertas condiciones (Smith, 1985). La convergencia asegura que, al refinar la discretizacin, la solucin numrica se aproxima a la solucin exacta, cumpliendo los esquemas FTBS y DuFort-Frankel con este criterio segn el Teorema de Lax.
Consistencia de los Esquemas
Teorema: El esquema FTBS (9) de la ecuacin LWR es un esquema consistente.
Demostracin. Para
probar que el esquema FTBS es consistente, se usa el desarrollo de Taylor de 
y
con
el fin de hallar el error de truncamiento. Para el caso de ,
se utilizan los cuatro primeros trminos del desarrollo de Taylor al igual que
en el caso de ,
con el fin de aproximar la ecuacin (6), es decir:
A continuacin, se reescribe la ecuacin (18) como sigue:
Segn el modelo LWR, la ecuacin (6) se expresa como:
Por tanto, la ecuacin (19) quedar como sigue:
Por ende, el error de consistencia para este esquema viene dado por:
Y
si 
como
tienden
a cero, se tiene como resultado que:
Esta expresin indica que conforme los intervalos de espacio y tiempo se hacen infinitesimalmente pequeos, el error de consistencia tiende a cero. Por lo tanto, se puede concluir que el esquema FTBS es consistente y presenta un error cuadrtico tanto en tiempo como en espacio.
Teorema: El esquema DuFort-Frankel (16) de la ecuacin LWR es un esquema consistente.
Demostracin.
Para probar que el esquema DuFort-Frankel es consistente, se usa el desarrollo
de Taylor de 
,
con el fin de hallar el error de truncamiento. Para el caso de 
,
se utilizan los tres primeros trminos del desarrollo de Taylor al igual que en
el caso de 
,
mientras que en el caso de 
se
utilizarn los cinco primeros trminos del desarrollo de Taylor, para aproximar
la ecuacin (13), es decir:
De donde se ve que,
 |
Al simplificar se tiene:
y a su vez,
Ahora
resta hallar el error de consistencia, denotado por 
:
y as se ve que
Ahora
se halla el lmite del error de consistencia cuando 
y
tienden
a cero:
Por
tanto, podemos afirmar que el esquema de DuFort-Frankel es consistente y posee
un error cuadrtico tanto en tiempo como en espacio. La presencia de 
sugiere
que el error tambin depende de la relacin entre y
.
Esta relacin es importante en esquemas numricos, ya que afecta la estabilidad
y la precisin del mtodo. Cuando la relacin 
es
grande, se puede esperar que este trmino contribuya significativamente al
error de consistencia.
Estabilidad de los Esquemas
Teorema: El esquema FTBS
(9) es condicionalmente estable en la norma 
,
siempre y cuando se cumpla la condicin CFL 
.
Demostracin. Se parte de (6), es decir:
De donde,
Multiplicamos
(29) por ,
obteniendo as:
Dividimos
para 
:
Arribando a:
Por propiedades del mdulo, se tiene:
De donde:
As:
Donde:
Adems, se tiene que:
Recordemos
que 
,
con lo cual:
Por tanto, se sigue qu (30) cumple la siguiente desigualdad:
Entonces
si,
y solo si,
Para
que se cumpla la desigualdad 
,
dado el hecho de que 
,
es necesario que .
Por lo tanto,
Por
consiguiente, concluimos que el esquema FTBS es condicionalmente estable,
siempre que .
Teorema: El esquema
DuFort-Frankel (16) es condicionalmente estable para la norma siempre
y cuando se cumpla la condicin CFL 
.
Demostracin. Se parte de (13)
Se
reescribe, teniendo en cuenta que 
,
obteniendo as:
Multiplicamos
por 
y
a continuacin dividimos para
Dividimos
para 
de donde
Recordemos
que 
,
de donde se sigue que 
y
as
Simplificando trminos, se arriba
De
manera anloga a la demostracin de la estabilidad del esquema FTBS, llegamos a
la condicin CFL para el esquema de DuFort-Frankel, la cual est dada por 
.
Convergencia de los Esquemas
Para determinar la consistencia de ambos esquemas, recurrimos al Teorema de Lax, el cual establece que un mtodo numrico es convergente si y solo si es consistente y estable (Allaire, 2007). Por lo tanto, dado que tanto el esquema FTBS como el esquema de DuFort-Frankel son consistentes y estables, tambin son mtodos convergentes. Esto significa que, en los resultados obtenidos, los niveles de error disminuirn de la manera ms rpida posible.
Resultados
Para comprender el comportamiento del flujo de trfico vehicular, se realizaron simulaciones numricas de los esquemas FTBS y DuFort-Frankel. Se consideraron parmetros como una velocidad de flujo libre de 50 km/h, una densidad mxima de 120 vehculos/km, una discretizacin espacial de 0.1 km, una discretizacin temporal de 0.0002 h, una longitud de prueba de 10 km y un tiempo total de simulacin de 4 segundos. Los resultados de estas simulaciones mostraron que el esquema FTBS presenta una mejor descripcin del modelo LWR en comparacin con el esquema DuFort-Frankel. Las grficas obtenidas revelan los perfiles de densidad del trfico vehicular a lo largo del tiempo y el espacio, proporcionando una visin detallada del comportamiento del modelo LWR discretizado.
Grfico 1: Densidad de trfico vehicular.
Fuente: Realizacin propia.
El Grfico 1 muestra las curvas de nivel, destacando su utilidad para identificar regiones de alta y baja densidad a lo largo de la va y en distintos momentos del tiempo. Las reas con curvas ms juntas indican cambios rpidos en la densidad, mientras que las reas con curvas ms espaciadas representan cambios ms graduales. Por otro lado, la visualizacin 3D de la densidad de trfico permite una comprensin ms profunda de la dinmica del trfico, mostrando claramente las variaciones de densidad en relacin con el tiempo y la ubicacin. Las regiones elevadas en el eje z corresponden a reas de alta densidad de trfico.
Grfico 2: Perfil de densidad de trfico vehicular.
Fuente: Realizacin propia.
El
Grfico 2 muestra las curvas de nivel, destacando su utilidad para identificar
regiones de alta y baja densidad a lo largo de la va y en distintos momentos
del tiempo. Las reas con curvas ms juntas indican cambios rpidos en la
densidad, mientras que las reas con curvas ms espaciadas representan cambios
ms graduales. Por otro lado, la visualizacin 3D de la densidad de trfico
permite una comprensin ms profunda de la dinmica del trfico, mostrando
claramente las variaciones de densidad en relacin con el tiempo y la
ubicacin. Las regiones elevadas en el eje 
corresponden
a reas de alta densidad de trfico.
Grfico 3: Perfil de densidad de trfico vehicular con los esquemas FTBS y DuFort-Frankel.
Fuente: Realizacin propia.
El Grfico 3 muestra una comparacin de la densidad del trfico vehicular en funcin del espacio, en un instante de tiempo especfico (t = 1.44 segundos). En el grfico, el eje horizontal representa el espacio en kilmetros y el eje vertical muestra la densidad del trfico en vehculos por kilmetro. La lnea continua azul representa la solucin analtica del modelo LWR, mientras que los puntos rojos y las estrellas azules corresponden a los resultados obtenidos mediante los esquemas numricos FTBS y DuFort-Frankel, respectivamente. La solucin analtica proporciona un perfil de densidad suave y continuo, que sirve como referencia para evaluar la precisin de los esquemas numricos. Los resultados del esquema FTBS (puntos rojos) siguen de cerca esta solucin, indicando una alta precisin en la aproximacin, aunque con ligeras desviaciones.
En contraste, los resultados del esquema DuFort-Frankel (estrellas azules) presentan mayores discrepancias, mostrando una mayor variabilidad y desviaciones ms notables, especialmente en las zonas de alta densidad. Esta comparacin visual destaca que el esquema FTBS ofrece una aproximacin ms precisa y consistente con la solucin analtica del modelo LWR en comparacin con el esquema DuFort-Frankel, sugiriendo que FTBS es ms adecuado para aplicaciones que requieren alta precisin en la simulacin del flujo de trfico vehicular.
La comparacin de estos resultados es fundamental para evaluar la eficacia de los mtodos numricos en la simulacin del flujo de trfico vehicular, destacando las fortalezas y limitaciones de cada esquema en la aproximacin de la solucin del modelo LWR.
Validacin cruzada
Los resultados del RMSE indican que el esquema FTBS es significativamente ms preciso que el esquema DuFort-Frankel al simular la densidad del trfico vehicular utilizando el modelo LWR. Con un RMSE de 0.027, el esquema FTBS proporciona una aproximacin muy cercana a la solucin analtica, mostrando pequeas desviaciones. Esto lo hace adecuado para aplicaciones que requieren alta precisin en la simulacin del flujo vehicular.
Tabla 1: Resultados del Error medio cuadrtico residual.
|
Esquema Numrico |
RMSE |
Parmetros de simulacin |
|
FTBS |
0.027 |
Velocidad flujo libre (F) = 50 km/h, Densidad mxima (K) = 120 vehculos/km, Discretizacin espacial (dx) = 0.1 km, Discretizacin temporal (dt) = 0.0002 h, Longitud del tramo de prueba = 10 km, Tiempo total de simulacin = 4 segundos |
|
DuFort Frankel |
0.15 |
Velocidad flujo libre (F) = 50 km/h, Densidad mxima (K) = 120 vehculos/km, Discretizacin espacial (dx) = 0.1 km, Discretizacin temporal (dt) = 0.0002 h, Longitud del tramo de prueba = 10 km, Tiempo total de simulacin = 4 segundos |
Fuente: Realizacin propia.
Por otro lado, el esquema DuFort-Frankel, con un RMSE de 0.15, muestra mayores discrepancias en comparacin con la solucin analtica. Las densidades obtenidas por este esquema presentan una mayor variabilidad y desviaciones ms notables, especialmente en las zonas de alta densidad. Esto sugiere que el esquema DuFort-Frankel es menos adecuado para aplicaciones que requieren alta precisin.
En ambos casos, los parmetros de simulacin incluyen una velocidad de flujo libre de 50 km/h, una densidad mxima de 120 vehculos/km, una discretizacin espacial de 0.1 km, una discretizacin temporal de 0.0002 h, una longitud del tramo de prueba de 10 km y un tiempo total de simulacin de 4 segundos. Con esta evaluacin detallada, se puede avanzar a las conclusiones sobre la eficacia y aplicabilidad de los mtodos numricos analizados.
Conclusiones
El anlisis y comparacin de los esquemas numricos FTBS y DuFort-Frankel para la simulacin del modelo LWR han demostrado diferencias significativas en trminos de precisin y aplicabilidad. El esquema FTBS, con un RMSE de 0.027, ha mostrado ser altamente preciso y consistente, lo que lo hace adecuado para aplicaciones que requieren simulaciones precisas del flujo vehicular. Por otro lado, el esquema DuFort-Frankel, con un RMSE de 0.15, presenta una mayor variabilidad y discrepancias, sugiriendo que es menos adecuado para escenarios que demandan alta precisin. Los parmetros de simulacin utilizados, que incluyen una velocidad de flujo libre de 50 km/h, una densidad mxima de 120 vehculos/km, y discretizaciones espaciales y temporales de 0.1 km y 0.0002 h, permitieron una comparacin equitativa entre los dos esquemas. Estos hallazgos subrayan la importancia de elegir el esquema numrico adecuado para garantizar la precisin y fiabilidad de las simulaciones del trfico vehicular, destacando la superioridad del esquema FTBS en este contexto.
La comparacin de los esquemas FTBS y DuFort-Frankel mediante el clculo del RMSE ha proporcionado una evaluacin clara de la precisin de cada mtodo, destacando la superioridad del esquema FTBS. Este anlisis cumple con el objetivo de evaluar la precisin de los esquemas numricos en la simulacin del modelo LWR. Adems, los parmetros de simulacin utilizados (velocidad de flujo libre, densidad mxima, discretizacin espacial y temporal) han permitido identificar las condiciones bajo las cuales el esquema FTBS proporciona resultados precisos. Esto establece una referencia para futuras simulaciones, cumpliendo con el objetivo de determinar las condiciones ptimas de simulacin para el flujo vehicular.
Por ltimo, la aplicacin de ambos esquemas bajo las mismas condiciones de simulacin ha permitido validar la eficacia de cada mtodo, destacando que el esquema FTBS es capaz de replicar con mayor precisin el comportamiento esperado del flujo vehicular. Este aspecto cumple con el objetivo de validar los resultados numricos obtenidos mediante los esquemas de diferencias finitas.
Discusin
Este estudio compar los esquemas numricos FTBS y DuFort-Frankel en la simulacin del modelo LWR de flujo vehicular. Los resultados mostraron que el esquema FTBS, con un RMSE de 0.027, es ms preciso que el esquema DuFort-Frankel, que obtuvo un RMSE de 0.15. Estos hallazgos destacan la importancia de seleccionar el esquema adecuado para asegurar la precisin en las simulaciones de trfico. Se utilizaron parmetros uniformes: velocidad de flujo libre de 50 km/h, densidad mxima de 120 vehculos/km, y discretizaciones espaciales y temporales de 0.1 km y 0.0002 h. La superioridad del FTBS indica su robustez para modelar el trfico con alta precisin.
A pesar de esto, el esquema DuFort-Frankel puede ser til en contextos menos exigentes. Se recomienda probar el modelo LWR con otros esquemas, como Godunov y MacCormack (Smith, 1985), y utilizar datos reales para validar los resultados. Adems, los esquemas de volmenes finitos, por su principio de conservacin, podran ofrecer mejores aproximaciones. En conclusin, el esquema FTBS es preferido para simulaciones precisas del flujo vehicular, mientras que DuFort-Frankel es adecuado para aplicaciones menos exigentes. Estos resultados aportan al conocimiento de la modelizacin del trfico y sirven como base para futuras investigaciones.
Referencias
1. Allaire, G. (2007). Numerical analysis and optimization: An introduction to mathematical modelling and numerical simulation. Oxford University Press.
2. Greenshields, B. D., Thompson, T., Dickinson, H. C., & Swinton, R. (1934). The photographic method of studying traffic behavior. Highway Research Board Proceedings, 13.
3. Lighthill, J., & Whitham, G. B. (1955). On kinematic waves II. A theory of traffic flow on long crowded roads. Royal Society, 229. https://doi.org/10.1098/rspa.1955.0089
4. Omkar, G., & Kumar, S. V. (2018). FINITE DIFFERENCE FORMULATION OF LIGHTHILL WHITHAM RICHARDS MACROSCOPIC MODEL FOR TRAFFIC FLOW PREDICTION. International Journal of Apllied Mathematics, 31(5). https://doi.org/10.12732/ijam.v31i5.6
5. Richards, P. I. (1956). Shock Waves on the Highway. Operations Research, 4(1), 4251. https://doi.org/10.1287/opre.4.1.42
6. Smith, G. D. (1985). Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods. Oxford University Press.
7. Treiber, M., & Kesting, A. (2013). Traffic Flow Dynamics: Data, Models and Simulation. Springer Berlin Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-32460-4
2024 por los autores. Este artculo es de acceso abierto y distribuido segn los trminos y condiciones de la licencia Creative Commons Atribucin-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA 4.0)
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