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An�lisis estructural de un p�rtico de concreto armado empleando el m�todo sistematizado de rigidez

 

Structural analysis of a reinforced concrete frame using the systematized stiffness method

 

An�lise estrutural de um p�rtico de bet�o armado utilizando o m�todo da rigidez sistematizada

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Correspondencia: mrupay@uniscjsa.edu.pe

Ciencias T�cnicas y Aplicadas

Art�culo de Investigaci�n

 

* Recibido: 05 de junio de 2024 *Aceptado: 28 de julio de 2024 * Publicado: �04 de agosto de 2024

 

        I.            Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Per�.

      II.            Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Per�.

   III.            Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Per�.

   IV.            Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Per�.

     V.            Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central Juan Santos Atahualpa, Per�.

 

Resumen

La presente investigaci�n tuvo como objetivo principal calcular la rigidez lateral y como objetivos espec�ficos las deformaciones, fuerzas internas y el diagrama de momento flector; estos c�lculos se realizaron mediante el an�lisis estructural de un p�rtico de concreto armado de un solo nivel. Se llev� a cabo un an�lisis detallado de las deformaciones, fuerzas internas y el diagrama de momento flector de la estructura bajo efecto de corte, as� como evaluar su rigidez lateral. La metodolog�a adoptada es de car�cter explicativo, centr�ndose en un caso en espec�fico que contempla el efecto de corte en los tres elementos estructurales: columna, viga y placa. Los par�metros del desarrollo se basaron en el m�todo sistematizado de la rigidez, utilizando los conceptos de deformaci�n por corte, lo que permiti� la obtenci�n de resultados significativos. El resultado de la rigidez lateral del p�rtico es de 20827.474 tonf/m, cabe destacar que la rigidez lateral, disminuye a medida que las barras experimentan deformaci�n por corte; y las deformaciones son: en la placa 6.2518/EI_(2 ), en la viga 2.4792/EI_(2 ) y en la columna es de 0.9143/EI_(2 ); las fuerzas internas son: en la placa 17.9854 tonf en la parte inferior y -4.6653 tonf en la parte superior, y de la viga -1.5543 tonf en la parte izquierda ocasionado por el brazo r�gido, 3.4996 tonf en la parte izquierda y 2.7172 tonf en la parte de derecha, y por �ltimo de la columna -2.7172 tonf en la parte superior y 2.0146 tonf en la parte inferior, cabe resaltar que estos valores son importantes para realizar el diagrama de momento flector de la estructura.

Palabras clave: Brazo r�gido; Deformaci�n por corte; Rigidez lateral; M�todo sistematizado.

 

Abstract

The main objective of this research was to calculate the lateral stiffness and the specific objectives were the deformations, internal forces and the bending moment diagram; these calculations were carried out by means of the structural analysis of a single-story reinforced concrete frame. A detailed analysis of the deformations, internal forces and the bending moment diagram of the structure under shear effect was carried out, as well as evaluating its lateral stiffness. The methodology adopted is explanatory in nature, focusing on a specific case that considers the shear effect in the three structural elements: column, beam and plate. The development parameters were based on the systematized method of stiffness, using the concepts of shear deformation, which allowed obtaining significant results. The result of the lateral stiffness of the frame is 20827.474 tonf/m, it should be noted that the lateral stiffness decreases as the bars experience shear deformation; and the deformations are: in the plate 6.2518/EI_(2 ), in the beam 2.4792/EI_(2 ) and in the column it is 0.9143/EI_(2 ); the internal forces are: in the plate 17.9854 tonf at the bottom and -4.6653 tonf at the top, and of the beam -1.5543 tonf on the left side caused by the rigid arm, 3.4996 tonf on the left side and 2.7172 tonf on the right side, and finally of the column -2.7172 tonf on the top and 2.0146 tonf on the bottom, it should be noted that these values ​​are important to make the bending moment diagram of the structure.

Keywords: Rigid arm; Shear deformation; Lateral stiffness; Systematized method.

 

Resumo

O principal objetivo desta investiga��o foi calcular a rigidez lateral e como objetivos espec�ficos as deforma��es, esfor�os internos e o diagrama de momento fletor; Estes c�lculos foram realizados atrav�s da an�lise estrutural de um p�rtico de bet�o armado de n�vel �nico. Foi realizada uma an�lise detalhada das deforma��es, dos esfor�os internos e do diagrama de momentos fletores da estrutura sob efeito cortante, para al�m de se ter avaliado a sua rigidez lateral. A metodologia adotada � de natureza explicativa, com enfoque num caso concreto que contempla o efeito cortante nos tr�s elementos estruturais: pilar, viga e placa. Os par�metros de desenvolvimento basearam-se no m�todo sistematizado de rigidez, utilizando os conceitos de deforma��o por corte, o que permitiu obter resultados significativos. O resultado da rigidez lateral do p�rtico � de 20.827.474 tonf/m. e as deforma��es s�o: na placa 6.2518/EI_(2), na viga 2.4792/EI_(2) e no pilar � de 0,9143/EI_(2); As for�as internas s�o: na placa 17,9854 tonf na parte inferior e -4,6653 tonf na parte superior, e na viga -1,5543 tonf na parte esquerda provocada pelo bra�o r�gido, 3,4996 tonf na parte esquerda e 2, 7172 tonf na parte esquerda. .

Palavras-chave: Bra�o r�gido; Deforma��o por cisalhamento; Rigidez lateral; M�todo sistematizado.

 

Introducci�n

�A lo largo de los a�os, en nuestro pa�s se han dado eventos s�micos han tra�do consigo p�rdidas humanas y materiales� (Herrera J. H., 2018). Por ejemplo, los acontecimientos sufridos en el terremoto de Ica en el 2017 se evidenciaron cuantiosas p�rdidas materiales, gran cantidad de damnificados y paros de actividades agr�colas que son sustento econ�mico.

Seg�n (Casal, 1987) para determinar la matriz de rigidez de la estructura �K� se deben expresar inicialmente las matrices de KLi de acuerdo con los GDL de la estructura o del edificio, por �ltimo, para hallar la matriz de rigidez (K) del edificio es la suma de las matrices de rigidez de cada (Kei) GDL.

Tambi�n, de acuerdo con el Instituto Nacional de Estad�stica e Inform�tica�(INEI, 2017) menciona que: �el 60 % de las construcciones de las edificaciones son producto de la construcci�n informal o autoconstrucci�n�. Siendo otro factor alarmante que pone en riesgo la vida humana ante la presencia de eventos s�smicos.

Seg�n (San Bartolom�, 1998) un p�rtico mixto est� conformada por vigas, columnas y placas (o muros estructurales), es por ende que el brazo r�gido representa o est� compuesta por la placa, y en cuanto a su longitud del brazo r�gido nos menciona, se debe tener en cuenta que en la zona de encuentro entre la placa y viga existen muchos esfuerzos, por ende, se recomiendo no reducir la secci�n del brazo r�gido.

Seg�n (Blanco Blasco, 1991) los muros o placas aportan mayor rigidez a la estructura y resisten mucho m�s en su direcci�n de an�lisis donde la inercia es mayor, tambi�n refiere que al tener mayor secci�n en su largo que en el ancho produce un comportamiento interior muy diferente ocasionado importantes deformaciones por corte, es por ello que tiene a tener mayor rigidez lateral en su largo.

Es por ello, la importancia de la eficacia del an�lisis estructural del comportamiento de las estructuras ante deformaciones por flexi�n y corte, determinando la rigidez lateral en las estructuras que permite conocer la capacidad que presenta para soportar esfuerzos cuando es sometida a acciones s�smicas (Rupay Vargas, Godi�o Poma, & Lopez Yarango, 2018).

Es por ello, respecto a la problem�tica, el objetivo de este estudio de art�culo cient�fico es realizar el an�lisis estructural de un p�rtico de concreto armado de un solo nivel, adem�s, determinar la rigidez lateral, deformaciones, fuerzas internas y el diagrama de momento flector de la estructura ante deformaciones por corte, mediante el m�todo de rigidez sistematizado, utilizando conceptos b�sicos de elementos con brazos r�gidos y deformaci�n por corte.

 

 

 

 

Materiales y m�todos

Par�metros del m�todo sistematizado de rigidez

En este presente art�culo de investigaci�n, se aplic� el m�todo sistematizado de rigidez, el cual, seg�n (Rupay Vargas, 2023) implica una serie de operaciones matriciales que posibilitan calcular la matriz de rigidez una estructura representada por , utilizando las matrices de rigidez de cada elemento . En consecuencia, el prop�sito fundamental de este enfoque es el de ensamblar la matriz de rigidez de toda la estructura.

 

Sistema Q-D y sistema q-d

Se presenta el sistema Q-D en concordancia con los grados de libertad propias de la estructura. Los GDL describe el funcionamiento de una estructura de acuerdo con los desplazamientos y las fuerzas que se relacionan con un n�mero de grados de libertad. (Godi�o Poma, L�pez Yarango, & Rupay Vargas, 2017).

De la misma forma el sistema q-d, se dispone de acuerdo con los GDL, pero de cada elemento que conforma la estructura.

 

Figura 1: Ejemplo de sistema q-d (local)

Nota: El gr�fico representa a la determinaci�n del sistema q-d local de un p�rtico con sus dos bases empotradas. Tomado de Rupay Vargas M. (2023).

 

Matriz de transformaci�n

En la matriz de transformaci�n, se relaciona los GDL del sistema Q-D de la estructura en general con los del sistema q-d (local). (Rupay Vargas, 2023).

En la figura 2, la matriz est� dispuesta de la siguiente manera, como se observa las deformaciones asociadas a los GDL del sistema Q-D se colocan en las columnas, mientras que las deformaciones seg�n los GDL del sistema q-d, se disponen en las filas de la matriz. (Blanco, Cervera, & Suarez, 2015)

 

Figura 2: Matriz de transformaci�n

Nota: Tomado de Rupay Vargas M.

 

Deformaci�n por corte en cada barra

En vista de que en el ejercicio de aplicaci�n tambi�n se tom� en cuenta la deformaci�n de corte en todos los elementos que conforman la estructura; ser� necesario el empleo de los siguientes conceptos y f�rmulas:

La deformaci�n total de una estructura toma en cuenta la deformaci�n por flexi�n y la de corte:

La matriz de rigidez dispuesta para un elemento que est� sometido a una deformaci�n por corte es la siguiente�(Avila, Puertas , & Martinez, 2021).

La constante , se halla de la siguiente manera:

Donde:

�                    E: m�dulo de elasticidad

�                    I: momento de inercia

�                    L: longitud del elemento

�                    G: m�dulo de corte

�                    Ac: �rea de corte

El m�dulo de corte (G) a su vez, es el resultado de:

Donde:

�                    E: m�dulo de elasticidad

�          : coeficiente de Poisson

Asimismo, el �rea de corte es el resultado de:

Donde:

�                    A: �rea del elemento

�          : factor de forma (f rect�ngulo=1.2, f c�rculo=10/9)

 

Figura 3: Barra con dos apoyos fijos y un sistema q-d con 2 GDL

Tomado de Rupay Vargas M. (2023).

 

Proceso de c�lculo

El proceso de c�lculo ser� seg�n lo descrito a continuaci�n:

 

a)                 Paso: Modelo matem�tico

En esta parte, se realiza una representaci�n simplificada del ejercicio de aplicaci�n a desarrollar, tomando en cuenta los datos especificados de una estructura; como: las secciones de los elementos, el m�dulo de elasticidad, momento de inercia, m�dulo de corte, etc. Con el objetivo de realizar de una manera m�s pr�ctica el c�lculo de la estructura (Hibbeler, 2012).

b)                Paso: Sistema Q-D

Se determina el sistema Q-D (global) de todo el p�rtico y el sistema q-d (local) de cada elemento del p�rtico que consta de tres barras.

c)                 Paso: Matriz de transformaci�n y rigidez de cada elemento

Se calcula las matrices de rigidez �y transformaci�n de la barra . Luego se prosigue a ensamblar la matriz de rigidez de la columna mediante la siguiente f�rmula:

d)                Paso: Vector de cargas

A continuaci�n, se determina el vector de cargas del p�rtico al reemplazar lo obtenido en esta ecuaci�n:

e)                 Paso: Vector de deformaciones

Se calcula las deformaciones de los GDL respecto al sistema Q-D (global) y las deformaciones de acuerdo con el sistema q-d (local).

f)                  Paso: Fuerzas internas

Se halla las fuerzas internas en los GDL respecto al sistema q-d, con la f�rmula

Con los resultados calculados de las fuerzas internas, se grafica los diagramas.

g)                 Paso: Rigidez lateral

 

 

Caso de estudio

La figura muestra una estructura que est� conformado por una columna, una viga y una placa, es solo de un nivel. Se desea analizar la estructura utilizando el m�todo sistematizado de rigidez, y se pide determinar mediante la siguiente condici�n: el efecto de corte en los tres elementos estructurales; con ello determinaremos el diagrama de momento flector y la rigidez lateral. En donde la altura de la estructura es de 3 m al eje de la viga, el ancho de la placa es de 1.5 m y la longitud de la viga es de 4 m; tenemos de secci�n una columna de 25x50 cm, placa de 15x150 cm y viga de 25x50 cm; y tambi�n tenemos un , , ; para determinar la rigidez lateral se aplic� una fuerza de 20 tonf en el eje �x� de la estructura, como se visualiza a continuaci�n:

 

Figura 4: Ejercicio Propuesto

 

Efecto de corte en los tres elementos

a)                 Modelo matem�tico

La placa se comporta como un brazo r�gido:

 

 

 

 

 

Figura 5: Modelo Matem�tico

 

b)                Sistema Q-D y q-d

 

Figura 6: Sistema Q-D

 

Para el sistema q-d tenemos:

 

Figura 7: Sistema q1-d1

 

c)                 Matriz de transformaci�n y rigidez en cada barra

Se analiz� las deformadas cuando se libera los grados de libertad del sistema Q-D global, para luego completar nuestra matriz de transformaci�n.

 

Figura 8: Desplazamiento unitario respecto a la redundante 1

 

Figura 9: Rotaci�n unitaria respecto a la redundante 2

 

donde:

 

Figura 10: Rotaci�n unitaria respecto a la redundante 3

 

Completamos la matriz de transformaci�n respecto al sistema q1-d1.

 

Tabla 1: Matriz de transformaci�n del ejercicio de aplicaci�n

Nota: En la tabla se muestra las deformaciones de la estructura relacionadas con las deformaciones de cada barra.

 

Para las barras (Placa, Viga y Columna): analizaremos con el efecto de corte, tambi�n ser� evaluado en funci�n de EI2:

Hallaremos alfa:

-                     Placa:

-                     Viga:

-                     Columna:

Para un modelo:

 

 

 

Figura 11: Elemento con 2 GDL

Nota: En la figura se observa el modelo que se tomar� para hallar las rigideces de las barras.

 

-                     Rigidez de la Placa:

-                     Rigidez de la Viga:

-                     Rigidez de la Columna:

 

Determinando las deformaciones en cada barra y su respectiva rigidez:

 

Figura 12: Deformaciones en la barra 1 respecto al q1-d1

Nota: En la figura se muestra las deformaciones calculadas en la placa.

 

 

Figura 13: Deformaciones en la barra 2 respecto al q1-d1

Nota: En la figura se muestra las deformaciones calculadas en la viga (barra 2).

 

 

Figura 14: Deformaciones en la barra 3 respecto al q1-d1

Nota: En la figura se muestra las deformaciones calculadas en la columna (barra 3).

 

d)                Ensamblaje de la matriz de rigidez

e)                 Vector de cargas

� y

 

Resultados

Vector de deformaciones (D y di)

Por consiguiente, los resultados obtenidos de la deformaci�n (D) de toda la estructura y las deformaciones de las barras que lo constituyen (di) son:

 

Tabla 2: Vector de deformaciones

 

Fuerzas internas (qi)

De la misma manera, se consigue alcanzar las fuerzas internas de las barras de la estructura propuesta:

 

Tabla 3: Fuerzas internas de las barras

 

Diagrama de momento flector

En la figura 15, se observa el gr�fico del momento flector que se determin� utilizando las fuerzas internas obtenidas de las barras, y realizando las respectivas ecuaciones de equilibrio.

Figura 15: Diagrama de momento flector

Nota: Diagrama de momento flector aplicando el m�todo de rigidez sistematizado.

 

Rigidez lateral

Finalmente, el resultado de la rigidez lateral, resaltando que se utilizaron los valores calculados de las deformaciones de la estructura, as� como la fuerza lateral inicialmente propuesta, es la siguiente:

 

Discusi�n

(Blanco, Cervera, & Suarez, 2015) mencionan que mediante los grados de libertad se puede determinar los desplazamientos y giros en una estructura, al iniciar desde un punto nodal, aplicando a armaduras en 2D. El n�mero de GDL se vincula con numero de nodos; para los apoyos simples se asigna 1 grado de libertad, mientras que para los apoyos fijos ning�n grado de libertad. Es por ende que este enfoque se aplic� en este trabajo de investigaci�n.

Al examinar los resultados derivados de los c�lculos efectuados mediante el m�todo de rigidez sistematizado, que incorpora conceptos de elementos con brazos r�gidos y deformaci�n por corte, se han obtenido resultados significativos y demostrativos. Se destaca especialmente la relevancia de llevar a cabo el c�lculo de la matriz de rigidez para cualquier p�rtico en relaci�n con las coordenadas globales de la estructura, seg�n lo propuesto por el procedimiento de (Ottazi Pasino, 2014).

De acuerdo con (Falconi, 2014) se�ala que, seg�n los par�metros del proceso, es necesario aplicar el m�todo de rigidez sistematizado para determinar la rigidez lateral de un p�rtico. El valor obtenido en los resultados en el cual aborda el efecto de corte en los tres elementos estructurales, se estim� una rigidez lateral de .

Adem�s, se determin� la matriz de rigidez de la estructura mediante las matrices de rigidez en las barras que lo componen, mostrando la finalidad del m�todo de rigidez sistematizado seg�n lo mencionando por el autor (Rupay Vargas, 2023) que afirma lo siguiente: �el prop�sito fundamental de este enfoque es el de ensamblar la matriz de rigidez de toda la estructura� (p. 3). El an�lisis revela que la matriz es sim�trica, adem�s el t�rmino de la diagonal principal (kii) es positivo y la matriz de rigidez no depende del sistema de cargas. Es definida positiva y su ensamblaje es f�cil de sistematizar, cumpliendo con las caracter�sticas especificadas en los conceptos utilizados en la metodolog�a de acuerdo con diversos autores.

 

Conclusiones

Para el desarrollo del ejercicio de aplicaci�n se emple� el m�todo de rigidez sistematizado con el objetivo de determinar la rigidez lateral; debido a que este enfoque considera a toda la estructura as� tambi�n como a las barras que la conforman al realizar los c�lculos, suministrando una base eficaz para el an�lisis y dise�o de sistemas estructurales parecidos. Adem�s, se alcanz� a determinar la rigidez lateral, calculado un valor de �cuando se tiene en cuenta el efecto de corte en los tres elementos estructurales.

Las deformaciones en la estructura resultaron las siguientes: en la placa �en la viga �y en la columna es de .

Las fuerzas internas en del p�rtico analizado fueron: en la placa �en la parte inferior y �en la parte superior, y de la viga �en la parte izquierda ocasionado por el brazo r�gido, �en la parte izquierda y �en la parte de derecha, y por �ltimo de la columna �en la parte superior y �en la parte inferior, cabe resaltar que estos valores son importantes para realizar el diagrama de momento flector de la estructura.

De la misma manera, se obtuvo la matriz de rigidez sim�trica, en el cual nos relaciona los desplazamientos de varios nodos, con los esfuerzos puntuales efectivos en dichos nodos. Esta matriz es primordial para percibir las distribuciones de las fuerzas y deformaciones en la estructura, facilitando un an�lisis m�s detallado.

Por lo tanto, la aplicaci�n de este m�todo ayuda de gran manera a conseguir un resultado pr�cticamente acertado de la rigidez lateral y as� tambi�n de otros elementos como: las deformaciones y fuerzas internas. El m�todo de rigidez sistematizado es una gran herramienta en la ingenier�a estructural pues ofrece un resultado preciso de las deformaciones y rigideces; lo cual es de gran ventaja para el an�lisis de estructuras que se pueden observar en la vida real, ya que permite determinar par�metros siguiendo un proceso sucesivo y de manera manual sin necesidad de emplear alg�n software que muchas veces es dif�cil de utilizar in situ.

 

Referencias

      1.            Avila, F., Puertas , E., & Martinez, A. (2021). C�lculo matricial de estructuras. Granada, Espa�a: Departamento de Mec�nica de Estructuras e Ingenier�a Hidr�ulica E.T.S. Ingenier�a de Caminos, Canales y Puertos.

      2.            Blanco Blasco, A. (1991). Estructuracion y Dise�o de Edificaciones de Concreto Armado. Lima.

      3.            Blanco, E., Cervera, M., & Suarez, B. (2015). An�lisis matricial de estructuras. Barcelona: Centro Internacional de M�todos Num�ricos en Ingenier�a (CIMNE).

      4.            Casal, J. (1987). M�todos para el An�lisis de Estructuras Sujetas a Fuerzas S�smicas Laterales. Instituto Nacional de Prevenci�n S�smica.

      5.            Falconi, R. A. (2014). An�lisis Matricial de Estructuras. Ecuador: FRONTIER PUBLICIDAD.

      6.            Godi�o Poma, F., L�pez Yarango, J. S., & Rupay Vargas, M. J. (2017). An�lisis Estructural I. M�todos Energ�tico y Matricial con Aplicaciones Mathcad. Huancayo: Impresos S.R.L.

      7.            Herrera, J. H. (2018). �Reforzamiento estructural usando el m�todo del encamisado de columnas para. Lima.

      8.            Hibbeler, R. C. (2012). An�lisis estructural. Pearson.

      9.            INEI. (2017). Estimaci�n y An�lisis de la Mortalidad Seg�n Diversas Fuentes. Lima: S�ntesis Metodol�gica.

  10.            Ottazi Pasino, G. (2014). Apuntes del curso An�lisis Estructural I.

  11.            Rupay Vargas, M. (2022). Apuntes de la clase de "Trabajo y energ�a de deformaci�n". Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central "Juan Santos Atahualpa", Jun�n, Chanchamayo.

  12.            Rupay Vargas, M. (2023). Apuntes de la clase de "Brazo r�gido y deformaci�n por corte". Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central "Juan Santos Atahualpa", Jun�n, Chanchamayo.

  13.            Rupay Vargas, M. (2023). Apuntes de la clase de "Formulaci�n del m�todo de rigidez". Universidad Nacional Intercultural de la Selva Central "Juan Santos Atahualpa", Jun�n, Chanchamayo.

  14.            Rupay Vargas, M., Godi�o Poma, F., & Lopez Yarango, J. (2018). Estructuraci�n y dise�o s�smico de edificaciones. Huancayo, Per�.

  15.            San Bartolom�, �. (1998). An�lisis de edificios. Lima: Pontificia Universidad Cat�lica del Per�.

 

 

 

 

 

 

 

� 2024 por los autores. Este art�culo es de acceso abierto y distribuido seg�n los t�rminos y condiciones de la licencia Creative Commons Atribuci�n-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA 4.0)

(https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/).

 

 

 

 

 

 

 

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