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Un estudio l�gico-filos�fico de los fundamentos de la Matem�tica

 

A logical-philosophical study of the foundations of mathematics

 

Um estudo l�gico-filos�fico dos fundamentos da matem�tica

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Correspondencia: gustavo.avila@espoch.edu.ec

 

 

Ciencias de la Educaci�n

Art�culo de Investigaci�n

 

 

* Recibido: 17 de enero de 2025 *Aceptado: 20 de febrero de 2025 * Publicado: �11 de marzo de 2025

 

        I.            Escuela Superior Polit�cnica de Chimborazo (ESPOCH), Ecuador.

      II.            Escuela Superior Polit�cnica de Chimborazo (ESPOCH), Ecuador.

 

Resumen

El objetivo del presente art�culo es realizar un bosquejo de un camino que vaya del silencio de la intuici�n, hasta las sinfon�as de las matem�ticas formales, tratando de mostrar los conceptos necesarios e ideas que forman el mencionado camino. Primeramente, se presentan algunas observaciones sobre la naturaleza de la matem�tica y sus m�todos, se enfatiza en las diferencias entre razonamiento y c�lculo, destacando la utilidad de este �ltimo. Se contin�a mostrando la necesidad e importancia de crear un lenguaje apropiado para estudiar la estructura del razonamiento matem�tico. Luego, se estudia el c�lculo de predicados formal y se comenta lo que fundamenta dicho c�lculo.

Palabras claves: L�gica; C�lculo Formal; Fundamentos; Sistemas Axiom�ticos; Lenguajes formales; Finitismo.

 

Abstract

The aim of this article is to sketch a path that goes from the silence of intuition to the symphonies of formal mathematics, trying to show the necessary concepts and ideas that form the aforementioned path. First, some observations on the nature of mathematics and its methods are presented, emphasizing the differences between reasoning and calculus, highlighting the usefulness of the latter. The need and importance of creating an appropriate language to study the structure of mathematical reasoning is then shown. Then, the formal predicate calculus is studied and the foundations of said calculus are discussed.

Keywords: Logic; Formal Calculus; Foundations; Axiomatic Systems; Formal Languages; Finitism.

 

Resumo

O objetivo deste artigo � esbo�ar um caminho que vai do sil�ncio da intui��o �s sinfonias da matem�tica formal, procurando mostrar os conceitos e as ideias necess�rias que formam o referido caminho. Em primeiro lugar, s�o apresentadas algumas observa��es sobre a natureza da matem�tica e dos seus m�todos, enfatizando as diferen�as entre o racioc�nio e o c�lculo, destacando a utilidade deste �ltimo. A necessidade e a import�ncia de criar uma linguagem apropriada para estudar a estrutura do racioc�nio matem�tico continuam a ser demonstradas. De seguida, estuda-se o c�lculo formal de predicados e discutem-se os fundamentos deste c�lculo.

Palavras-chave: L�gica; C�lculo Formal; Fundamentos; Sistemas Axiom�ticos; Linguagens formais; Finitismo.

 

Introducci�n

Un sistema axiom�tico es, en primer lugar, un sistema. Esto es, ciertos objetos que interact�an de cierta manera. En el caso de la matem�tica, los sistemas tratan sobre entidades abstractas. A grosso modo, el sistema se dice axiom�tico pues los hechos del sistema se pueden demostrar desde otros anteriores y primitivos llamados axiomas. Un sistema axiom�tico est� constituido por axiomas, teoremas, conceptos primitivos y derivados. Ejemplos de sistemas axiom�ticos son el sistema de los n�meros reales, el sistema de los n�meros naturales o el de grupos algebraicos. Las proposiciones verdaderas (axiomas y teoremas) de un determinado sistema axiom�tico se entrelazan de cierta manera por un proceso llamado demostraci�n matem�tica. Este proceso es tema de estudio, ya que se trata de clarificar las leyes y los fundamentos del razonar matem�tico. Las leyes l�gicas deben ser comunes a todos los sistemas axiom�ticos. Leyes l�gicas que permiten deducir proposiciones verdaderas de proposiciones verdaderas. Este estudio es una parte de la L�gica Matem�tica. Por tanto, una parte de la L�gica.

Es interesante observar que la L�gica como tal tiene principios y leyes fundamentales. A saber, axiomas. As�, puede emerger la pregunta: �la l�gica o la teor�a de la deducci�n puede ser axiomatizada? �En tal caso, como se deducen sus teoremas de sus teoremas? Es decir, �con qu� l�gica se deducen sus resultados? Esto es, �hay una segunda l�gica y por tanto, una tercera y as� al infinito o existe una l�gica fundamental, primitiva, primera y es intuitivamente manejada en aquel nivel elemental? Si es as�, �para justificar esta l�gica primitiva que herramientas se pueden utilizar? Por �ltimo, �la l�gica puede fundamentar la matem�tica en el sentido de justificar y garantizar el correcto devenir de teoremas en otros teoremas?

Ahora, es claro que la matem�tica por su m�xima pretensi�n de claridad es el terreno m�s firme donde se pueda entrenar y observar el razonamiento. Vale decir, por medio de la matem�tica aprendemos el correcto razonar. Tambi�n, por medio de la matem�tica aprendemos a ser m�s l�gicos. De todo lo anterior, se colige que la matem�tica es un insumo para estudios sobre el entendimiento humano y en particular insumos para la l�gica. En efecto, podemos citar a Plat�n, del cual se dice que recomend� esto al no admitir en su academia ignorantes en geometr�a. Esto es, se requer�a matem�tica para ingresar al resto de saberes. As�, la l�gica, en parte, se fundamenta del uso que damos al razonamiento en la matem�tica. Entonces, vale preguntarse �la l�gica justifica a la matem�tica o la matem�tica a la l�gica? Claramente, algunos de los m�s grandes fil�sofos han corroborado sus teor�as y sistemas filos�ficos incorporando la matem�tica o verificando sus sistemas en las matem�ticas o al menos las han tomado muy en consideraci�n. Por ejemplo, Plat�n, Arist�teles, Hume, Descartes, Espinoza, Kant, Newton, Leibniz, etc. Por tanto estos fil�sofos han usado la matem�tica para encaminar su razonamiento. As�, podemos decir que dentro de la l�gica y la filosof�a, hay matem�tica y dentro de la matem�tica, hay l�gica y, podr�a quiz�, filosof�a. Decimos m�s, es evidente que todo emprendimiento y estudio necesita de cierto nivel de filosof�a, l�gica y matem�tica, en particular para el uso correcto de conceptos. As�, si estudio, l�gica o matem�tica o filosof�a, debo usar en cierto grado l�gica, matem�tica y filosof�a, lo cual parece una circularidad. Digo esto ya que este estudio participa de esta insalvable necesidad.

Regresando al tema presentado en el primer p�rrafo, �el concepto de sistema axiom�tico como debe ser estudiado? Por ejemplo, �puede ser axiomatizado? Y, �si el estudio del concepto "sistema axiom�tico" se podr�a llevar a cabo axiom�ticamente, que valor tendr�a? Es decir, �si podr�amos llevar a cabo el estudio axiom�ticamente de un sistema axiom�tico, mi resultado entrar�a contenido en mi estudio? Por tanto, los sistemas axiom�ticos no se pueden estudiar axiom�ticamente.

As�, parece que nos encontramos en la frontera de la matem�tica, l�gica y filosof�a. Pero �cu�l es el m�todo que se debe usar aqu�? Por ejemplo, �si quiero explicar por qu� la poes�a es bella, escribir�a un poema sobre la belleza de la poes�a o quiz�, medir�a los sonidos, la rimas o analizar�a la forma lenguaje? Esto �ltimo quiz� sea evidente que en este caso no dar�a resultado. M�s, en el contexto antes mencionado, �qu� har�a si quiero explicar por qu� la l�gica es l�gica o para descubrir la esencia de los sistemas axiom�ticos, axiomatizar�a? En particular �debemos analizar la forma del lenguaje? Esto es, �del frio uso y forma de lenguaje, emerge, por ejemplo, la belleza en la poes�a, o bien, la l�gica de los sistemas axiom�ticos? Aunque ciertamente, la l�gica y la poes�a no se puedan comparar en este sentido, pues tienen m�todos y fines diferentes. Mas, �se puede salir de la mente y pensar desde fuera, como por ejemplo salir de la atm�sfera y respirar?

Para ejemplificar la circularidad citada, de manera t�cnicamente, es conocido el enfoque sobre el sistema ZFE, de la teor�a de conjuntos, que pretende servir de fundamento de la matem�tica. M�s, �con qu� m�todos matem�ticos y l�gicos estudio ZFE, para sostener esta afirmaci�n?

El objetivo es dar algunas ideas sobre estas interrogantes que pueden causar inquietud en la mente de un matem�tico que comienza a filosofar sobre ellas.

Axiomas y C�lculo

No pocas fuentes afirman que una de las m�s bellas ecuaciones matem�ticas es la igualdad de Euler. A saber, . Sin embargo, es muy seguro que algunos ojos no negar�n que la siguiente estructura tambi�n contiene misterio y belleza:

 

Tabla 1: Tabla de verdad del implicador material

 

Si se profundiza en ella, se encuentran varios inconvenientes. Sea como fuere, esta tabla pertenece a la parte de la l�gica matem�tica llamada c�lculo proposicional o de enunciados [HA].

Para abordar el misterio mencionado sobre la tabla anterior, comencemos recordando brevemente los or�genes de la L�gica. Sabemos que su estudio comienza con el estagirita. Una parte de sus estudios se enfocan en los argumentos conocidos como Silogismos. En dicha parte considera, entre otras cosas, las siguientes cuatro proposiciones "Todo A es B", "Todo A no es B", "Alg�n A es B" y "Alg�n A no es B", donde A y B son t�rminos. �A saber, un t�rmino es un concepto, que puede funcionar tanto como sujeto o como predicado en una de alguna de las cuatro proposiciones. Sin embargo, si se nos permite un anacronismo, en la teor�a de conjuntos podr�amos escribir, las anteriores cuatro proposiciones como, " �"," , respectivamente. Considerando siempre la existencia de un conjunto , tales que �y �y �y . As�, podremos reescribir el famoso cuadro de la oposici�n medieval:

 

Figura 1: Cuadro de la oposici�n medieval (an�logo)

 

Es claro que las opuestas por el v�rtice son contradictorias. Las otras relaciones (l�neas del gr�fico) reciben otros nombres. Sin embargo, se espera que el lector pueda dar cuenta de c�mo se relacionan. Esto es, cuando pueden ser verdaderas o falsas a la vez dos proposiciones ligadas con una linea, o cual implica a cu�l, etc.

Sin embargo, de todo lo que Arist�teles examin�, nos enfocaremos en los mencionados silogismos. Esto es, �si se combinan tres t�rminos en tres de estas cuatro proposiciones, de manera que dos sean premisas y una tercera conclusi�n, es v�lido el silogismo que se forma? Para entender mejor, considere, por ejemplo, tomar al azar tres t�rminos ��y tres de las mencionadas proposiciones; dos como hip�tesis y una como conclusi�n y pregunt�monos si es v�lido el argumento que se forma. Es decir, de la siguiente manera, sean �siempre no vac�os. Si �y , entonces . Se puede formar, de esta manera, 256 combinaciones, esto es 256 silogismos. Naturalmente, la pregunta que surge es: �Cu�les son v�lidos y, quiz� m�s importante, por qu� lo son? En efecto, se sabe que 24 son validos [SAA].

Ahora, si se combina tres veces la primera proposici�n se obtiene el silogismo, bautizado en la �poca medieval como Barbara. A saber, si �y , luego . Se puede dar cuenta de este �ltimo silogismo desde la actual teor�a de conjuntos, sin embargo, el estagirita procedi� de otra manera. A saber, acepta ciertas leyes de transformaci�n, como, por ejemplo:

�          Si , si y solo si .

�          Si , si y solo si .

�          Si , luego .

�          Si , si y solo si .

Despu�s, elige cuatro silogismos como v�lidos. Da cuenta de esta elecci�n por ser aquellos cuatros silogismos "especialmente cient�ficos". Acepta axiom�ticamente los siguientes cuatro:

�          Si �у , luego .

�                    Si �y �luego .

�          Si �y , luego .

�                    Si �y �luego .

Adem�s, requiere usar principios superiores. A saber, El Principio de no Contradicci�n, de Tercio Excluido y de Identidad. Con esto logra demostrar cuales son v�lidos.

Se muestra a continuaci�n un ejemplo. Veamos la validez del silogismo llamado Baroco. El cual es, Si �y , luego . En efecto, supongamos por reducci�n al absurdo que, . De donde, se sigue que . Sabemos adem�s que se dan las hip�tesis �y . As� tenemos que se d�, �y . Por Barbara, tenemos . As�, �y . Lo cual es una contradicci�n.

Ahora bien, adicionalmente, el fil�sofo dio reglas de "c�lculo" para afirmar cuando un silogismo es v�lido o inv�lido. Esto es, se dieron reglas formales para el manejo correcto de los t�rminos. M�s precisamente, para que un silogismo sea v�lido, los t�rminos deben estar correctamente distribuidos y cumplir ciertos roles precisos. Aunque estas �ltimas reglas no aportan informaci�n sobre la esencia de la validez, son muy pr�cticas, lo cual es el objetivo de un c�lculo, en el sentido de leyes simples que se pueden verificar f�cilmente ([VE]).

Tambi�n mencionamos que existe formas de ver los silogismos con diagramas de Ven ([VE]).

 

Reglas y Enunciados

Ahora bien, en la actualidad sucede algo parecido. Consideremos la l�gica proposicional. En aquella tenemos ciertos axiomas sobre el concepto proposici�n junto con conectores l�gicos, que son parte de un lenguaje formal (artificial). M�s precisamente, las mencionadas reglas son ([GEB]):

1.   Regla de agrupamiento: Si �son teoremas, luego �es un teorema.

2.   Regla de disociaci�n: �es un teorema, entonces tanto �es un teorema como �es un teorema.

3.   Regla de la doble negaci�n: la cadena �puede ser quitada o incluida en cualquier teorema.

4.   Regla fantasiosa: Si supuesto , luego, se puede derivar por medio de alguna regla , se tiene que �es un teorema.

5.      Regla de traslado: Cualquier teorema puede ser empleado dentro de una derivaci�n, de una regla fantasiosa.

6.   Regla de separaci�n: Si �y �son teoremas, se sigue que �es teorema.

7.   Regla de contraposici�n: �y �puede ser intercambiadas en cualquier derivaci�n.

8.   Regla de Morgan: �y �pueden ser intercambiables en una derivaci�n.

9.   Regla de Quitapongo: �y �pueden ser intercambiables en una derivaci�n.

El autor, que describe en su obra las citadas reglas ([GEB]), tambi�n refiere lo siguiente:
El c�lculo proposicional nos aporta un conjunto de reglas para producir proposiciones que ser�an verdaderas en todos los mundos posibles. Es por ello que todos sus teoremas dan la impresi�n de ser tan simples, al punto de parecer carecer por completo de contenido [...]existe un procedimiento mec�nico que diferencie entre teoremas de no teoremas[...] Resulta que existe un interesante procedimiento de decisi�n el m�todo de las tablas de verdad.

En resumen, lo que se desea notar es que Arist�teles argument� sobre como elige los axiomas de su sistema y como demuestra silogismos a partir de ellos. Sobre esto aplic� reglas de "c�lculo� que �facilit�" las demostraciones de validez de silogismos analizando como se distribuyen los t�rminos de sus silogismos. Esto �ltimo es similar a las tablas de verdad. Observe que, si se considera una f�rmula extensa de proposiciones con conectores, el camino para llegar a su demostraci�n por medio de las 9 reglas citadas arriba puede ser nada evidente y muy largo. Sin embargo, las tablas de verdad facilitan la comprobaci�n de estas cadenas de enunciados en un numero finito de pasos, los cuales se encuentran relacionados con razonamientos. Vale la pena decir que esta conexi�n entre tablas de verdad y la estructura l�gica de arriba est� demostrada (ver [HA]).

As�, nuestro sentido com�n nos dice que el razonamiento no se basa en el c�lculo; m�s, el c�lculo se basa en el razonamiento. Decimos esto, porque se observa, sobre todo en cursos iniciales de pregrado en matem�tica, que para dar cuenta de que un razonamiento es v�lido, se recurre a las tablas de verdad del c�lculo proposicional, sin saber por qu� funcionan tan bien. Lo cual, podr�a constituir una desventaja al desconocer el fundamento, ni la raz�n de dicho c�lculo. Con esto no se desea dejar de lado el hecho de que dicha tabla es muy controversial, a la vez que muy �til.

En la siguiente secci�n se profundiza sobre el origen de las reglas citadas arriba y sobre lo mencionado en el p�rrafo anterior.

Sobre la necesidad de analizar y crear un lenguaje

Para entender una afirmaci�n, debemos comprender que significan las palabras que se emplean. Definir conceptos y transmitir ideas es un problema antiguo y actual. Por ejemplo, Plat�n en sus di�logos, por boca de S�crates, muestra este problema al tratar de definir ciertos conceptos. En efecto, en el dialogo �La Rep�blica�, en el �Libro Primero�, cuando Polemarco cita la frase de Simonides: "La justicia es dar a cada quien lo debido" se ve a S�crates tratando de clarificar la frase, para concluir que Simonides se ha expresado de manera enigm�tica y po�tica, es decir, se ha expresado sin precisi�n y metaf�ricamente. Aunque definir justicia es controversial incluso en la actualidad. Relacionada con esto tambi�n est� la c�lebre paradoja del mont�n. Esto muestra lo indispensable de procurar un lenguaje, donde las palabras o s�mbolos est�n definidos claramente, sobre todo en temas cient�ficos, para que las ideas sean trasmitidas y discutidas sin ambig�edad. A prop�sito, es conocido que S�crates sosten�a que la virtud es conocimiento. No tendr�a sentido, si refuto su m�xima definiendo virtud y conocimiento de cierta manera tal que la virtud no sea conocimiento. Debemos entender que es para S�crates virtud y conocimiento, para entender su argumento y luego aceptarlo o refutarlo.

Decimos m�s, si consideremos textos antiguos, como los de Plat�n o Arist�teles, es sabido que las traducciones al castellano del siglo XVI son diferentes a las del siglo XX. No solo en cuanto a su forma, tambi�n en el uso y significado de las palabras, como tiempo, espacio, virtud, felicidad, conocimiento, etc. Es decir, el uso de estas palabras ha variado, en parte debido a que estos textos son usualmente modificados por int�rpretes y tambi�n por que ellas var�an culturalmente.

Adem�s, otro aspecto es que ciertas palabras existen en unos idiomas y en otros no. Por ejemplo, en el idioma lat�n existe una palabra para el "o inclusivo" y otra para el "o exclusivo", no as� en el espa�ol. Esto hace m�s preciso el lenguaje en dicho aspecto. Otro ejemplo tenemos en el idioma Ruso, donde existen tres palabras diferentes para lo que en espa�ol decimos con una palabra. Es efecto, existe una palabra para el "si condicional". Por ejemplo, en la oraci�n "Si hoy es lunes ma�ana es martes" y otra palabra para el "si no condicional" por ejemplo para oraciones "No s� si comer arroz en la cena de hoy", y otra palabra para "si", cuando respondemos afirmativamente, por ejemplo, en oraciones como "S�, Juan quiere az�car en su chocolate", la cual responde a la pregunta: �Juan quiere az�car en su chocolate? Lo que se desea expresar con estos ejemplos es que las palabras juegan distintos roles en el lenguaje. Esto es, una misma palabra puede obedecer a distintas estructuras l�gicas que pueden no estar relacionadas. As�, debemos enfocarnos en determinada funci�n, que deseamos con una finalidad, m�s que en c�mo se usa la palabra en todas las circunstancias de un lenguaje determinado. Se explica esto por qu� se desea evitar ciertas confusiones usuales, que se hace sobre la diferencia del significado de los conectores l�gicas y el de aquellos conectores en el lenguaje natural.

As�, tenemos las siguientes situaciones a considerar:

�                    Dada la pretensi�n de claridad de la matem�tica, lo antes dicho motiva a clarificar las oraciones matem�ticas con el m�ximo rigor posible, esto obliga a construir lenguajes artificiales apropiados para lo que necesitamos expresar, donde cada s�mbolo est� definido.

�                    M�s aun, la libertad con la que usamos el lenguaje cotidiano permite crear frases parad�jicas como: �Esta oraci�n es falsa"

Ciertamente, la citada oraci�n es falsa si, y solo si, es verdadera. Una de las razones de esta paradoja, como de otras, es porque el todo (la oraci�n) ocupa el mismo lugar sem�ntico que la parte (el sustantivo). Se suele decir que el problema es la autorreferencia ([GEB], [ITC]).

As�, parecer�a que la sintaxis debiera limitar la formaci�n de estas frases. Es decir, se necesita un lenguaje artificial que trate de evitar la formulaci�n de aquel tipo de frases. Aproximadamente, un lenguaje donde, entre otras cosas, los sustantivos no se salgan de la oraciones.

�                    Adem�s, como el pensamiento se refleja en el lenguaje, si elegimos este �ltimo de manera apropiada, es decir si lo elegimos evitando los mencionados inconvenientes (entre otros); decimos que, si elegimos as� el lenguaje, su estructura, reflejar� nuestros procesos mentales, aportando informaciones sobre dichos procesos y sobre el objeto que estudiamos, esto es, en el presente estudio, sobre la matem�tica [ML].

Para matizar estas observaciones, a modo de ejemplo, se presentar�n cuatro teoremas con sus demostraciones. El objetivo es, en cuanto sea posible, hacer visible la estructura de los razonamientos que unen las hip�tesis con las consecuencias, as� como el uso del lenguaje. De esta manera, se introduce el tema que se refiere al an�lisis de la deducci�n matem�tica y principalmente la necesidad de descender al estudio de la sintaxis del lenguaje.

Esperamos que el lector est� familiarizado con el uso del lenguaje formal para poder traducir las siguientes proporciones al lenguaje t�cnico o natural de la matem�tica. Como se ha dicho, este es un recurso que nos permite ser m�s precisos en lo que decimos, lo cual es beneficioso, entre otras cosas, para analizar las estructuras de los razonamientos. Sin embargo, por el momento, el objetivo no es enfocarnos en la exactitud del lenguaje, m�s en comprender la importancia de su buen uso y estudiar los razonamientos que se dan en la matem�tica. Ser� como ver una ciudad desde lo alto sin preocuparnos si los edificios est�n bien dispuestos.

Variables

Vale la pena mencionar, que para los autores del presente texto, una variable es un signo al cual podemos predicar de la esencia de alg�n conjunto, definici�n, concepto o noci�n. Grosso modo, le podemos predicar cualquier propiedad com�n a todos y cada uno de los elementos de la noci�n (la extensi�n del concepto). Por ejemplo, si decimos: sea . Podemos predicar a �de la esencia del conjunto. Aunque formalmente ��no sea una vocal del espa�ol, podemos predicar de su esencia. Esto es, soportamos decir, en este caso " �o �o �o �o �", pues toda la anterior frase es la esencia del conjunto. Sin embargo, no podemos decir , pues �no es algo com�n a todos los elementos. Podemos decir, �es cualquier vocal, pero no nos consentimos decir �es una determinada vocal. Lo que podemos decir es, �puede ser en potencia cualquier, pero no que es en acto, alg�n elemento determinado. Sin embargo, es diferente si se est� suponiendo que es un determinado elemento para alguna deducci�n usual de tipo "si..., entonces�". Decimos m�s, por ejemplo, la palabra hombre, no es un hombre. Pero la predicamos de las caracter�sticas comunes a los hombres, por ejemplo: "hombre es un animal racional". Com�nmente, se da la definici�n de proposici�n y se dice "sea P una proposici�n", para predicarle de las cualidades que contiene la noci�n. Incluso podremos decir sea �una variable del conjunto de variables de cierto lenguaje, etc. M�s aun, dejando de lado la intrincada ontolog�a, puedo incluso decir, sea �una noci�n o sea �un ser. Sin embargo, desde este enfoque no siempre se puede asumir que la noci�n, concepto forme o constituya un todo. Por ejemplo, no consentimos decir, el conjunto de las proposiciones como un todo actual, m�s si potencialmente infinito.

Teor�a de grupos

Ahora, consideremos una demostraci�n dentro de la teor�a de grupos algebraicos. Es conocido ([ML]) que, un grupo es un conjunto �donde se ha definido una operaci�n binaria , los cuales satisfacen los siguientes hechos:

Sea �una variable del conjunto . Por comodidad, llamaremos �a la proposici�n

Teorema 1. Sea �un grupo. Sean �dos elementos de , tales que se da �. Entonces, .

Demostraci�n. Sean �dos elementos que satisfacen �y . As�, en particular se cumple �y . As�, como �y , se sigue que . Similarmente, como �y , se sigue que . Pues bien, como �se tiene que . Similarmente, como , se tiene que . Luego, �y . Por lo tanto, .
Una vez que se prueba la anterior proposici�n, la cual est� significando que dados los Axiomas A1 y A2, resulta que el conjunto de elementos que afirma A2 que existen es unitario. Esto �ltimo nos faculta ponerle un nombre constante a dicho �nico elemento, a saber, por ejemplo, llamarlo .

�Qu� es lo que une los hechos? En la segunda oraci�n que garantiza que si admitimos , luego . Parece claro que esta es una implicaci�n directa, es decir que hay una regularidad entre la hip�tesis y la consecuencia. Esto es, hay una conexi�n entre los dos sucesos: tener dos proposiciones �y �verdaderas concluir que cualquiera de las dos se da, por ejemplo, concluir que �es verdadera (ver Regla de disociaci�n enunciada m�s arriba).

Con respecto a la regularidad digamos dos palabras. En efecto, sabemos que en el mundo f�sico una relaci�n causa efecto supone una regularidad entre dos sucesos, en el que un suceso siempre antecede temporalmente al otro. El primero es causa del segundo. La causalidad puede ser inmediata, esto es cuando no hay un mecanismo que medie entre la causa y el efecto. Por ejemplo, dos bolas r�gidas y esf�ricas A y B, chocan. Una est� en reposo, por ejemplo B, y la bola A choca con la bola B. Por lo cual, simplemente la bola A es causa del movimiento de la B. Esta es una regularidad en el mundo f�sico. Se puede decir m�s, la bola A ejerce una fuerza sobre la bola B, lo que causa una aceleraci�n en B. Esta fuerza es la responsable de cambiar el estado de reposo de la bola B. Vale preguntar: �por qu� la bola A tiene una fuerza? se podr�a responder es ya que precisamente el impacto genera una aceleraci�n. En conclusi�n, se dice que es ya que una fuerza genera una aceleraci�n, Esto �ltimo es un implicaci�n directa, desde el punto de vista cl�sico. Como otros ejemplos de implicaciones directas, podr�amos preguntarnos �por qu� la masa deforma el espacio tiempo? Son causas inmediatas. La naturaleza funciona as� y responde a leyes, con las que podemos progresar como humanidad. Podr�a parecer que Arist�teles dir�a que dichas leyes inmediatas se dan por naturaleza.

Prosiguiendo se afirma que de �y �se sigue que �. Observe que, para la pregunta �por qu� esta argumentaci�n es verdad? se debe acudir a una estructura m�s general, donde la ley de la analog�a se cumpla. As�, ciertamente lo que se tiene es que si �es un conjunto y si �es un sustantivo de una proposici�n , entonces si �(esto es �es una variable del conjunto �y , se sigue .

 

Observe atentamente que se debe descender a la forma, a la sintaxis, para concluir que esto es v�lido, porque se debe cumplir en todos los sistemas axiom�ticos sin importar el contenido. Esto es, se debe analizar la estructura del lenguaje sin considerar el contenido de las proposiciones. Bajo este requisito, vamos observas patrones que se dan con regularidad en las deducciones matem�ticas.

Por otro lado, se puede tener que dos proposiciones se impliquen de manera mediata, esto es mediante otros razonamientos inmediatos anteriores. Uno de los objetivos es encontrar que implicaciones son directas, inmediatas o axiom�ticas para justificar las dem�s y cuales son proposiciones que se pueden deducir.

Regresando al ejemplo anterior, tambi�n, se ha utilizado ciertas propiedades de transitividad que cumple la relaci�n que llamamos igualdad. La cual es una forma particular de predicado que debe ser axiomatizada, al ser una relaci�n b�sica. As�, por el momento, tenemos las siguientes leyes:

S1: Si se da �y , luego se da, por ejemplo, solo .

S2: Si se tiene que �es una variable o constante de �y , se sigue .

An�lisis real

Ahora, consideremos un resultado sencillo del an�lisis matem�tico acerca de la continuidad de una funci�n constante.

Teorema 2. Sea , definida para todo , como . Entonces, �es continua en .

Debemos demostrar que . Observemos que �y adem�s . As�, . �Ahora, dados �y , debemos hallar �tal que . Sea . Sea . Si , y, puesto que , se tiene que .

Analicemos, como se transforman las proposiciones: Dejando, por lo pronto, el an�lisis de los cuantificadores, tenemos que, dados , , y si por hip�tesis aceptamos que , �de d�nde se sigue que �? Se ve que dados �y ya que , luego . As�, por decirlo de alguna manera, dentro del universo de las condiciones , y , tenemos como un hecho la proposici�n , a la cual llamaremos . Ahora, en este mismo contexto, si suponemos verdadera la proposici�n , a la cual llamaremos , tenemos que se da �y se d� , luego tenemos que se da . Es decir, si suponemos P , como se da Q , se tiene �y por tanto tenemos . As� por una especie de transitividad se tiene que . Esto es, . Como �es un hecho, se sigue que �que es lo que quer�amos demostrar. Profundicemos m�s en esto �ltimo.

La estructura abstra�da que se ha obtenido es: "sabemos , suponemos �tenemos , luego . �Formalmente c�mo ser�a esto? Primeramente, veamos la forma del razonamiento: "sabemos , suponemos , esta podr�a traducirse como . Es decir, a primera vista "saber Q y suponer , pod�a ser , en tal caso, por todo lo anterior, estar�amos concluyendo , lo cual no aporta mucho y adem�s no es lo que queremos demostrar, que es . Consideremos la siguiente distinci�n. Saber �es simplemente poner . Suponer P , es grosso modo . As�. Saber �y suponer �ser�a . As�, saber , suponemos �y concluimos , ser�a . Digo m�s, tratando de hallar mayor generalidad, saber algo en matem�tica es de cierta manera suponer. Luego, si se supone �(se sabe), y suponemos , concluimos . Esto es, . Ahora, como sabemos que se da , podemos concluir �que nuevamente es lo que quer�amos demostrar. Por favor, tenga presente que hay una relaci�n entre las f�rmulas �y �(puede usar tablas de verdad). Compare este resultado con la Regla 5 de (2.1) y con la regla K1 de (4) que est� m�s adelante.

Observemos que, la explicaci�n en este caso no hace alusi�n al contenido de las proposiciones, es decir, es formal. Ciertamente desde la antig�edad las funciones constantes son continuas. Sin embargo, parece que la l�gica est� adecuada en muchos casos a dar sentido a estas proposiciones o, podr�a ser que, estas demostraciones motivan las leyes de la l�gica.

Por otro lado, parecer�a que , cuando no se aplica en un contexto como el anterior, no tiene sentido. Es decir, es una frase que en la cotidianidad no se usa. A saber, nadie dice algo como "Si Juan es ecuatoriano, entonces: Si mi perro corre, luego juan es ecuatoriano". Entonces, parecer�a que proviene de una l�gica construida con cierta finalidad, que no deviene inmediatamente de la vida cotidiana, la cual debe ser aprendida y practicada, para ser entendida. Esto, se supone, es un consuelo para los estudiantes que se sienten confundidos en cuanto a demostrar se refiere, pues es una l�gica que se aprende con el tiempo y la pr�ctica.

N�meros Naturales

Hasta ahora no se ha necesitado precisar dos cuestiones: La primera es que cuando escribimos �esta es una simplificaci�n de la frase . Tomamos en cuenta que el cuantificador universal trabaja dentro de un conjunto o dominio previamente definido (el universo que se est� considerando). No es necesario imponer l�mites, porque est�n impl�citos. Similarmente la formula �es una simplificaci�n de la frase . An�logamente al cuantificador universal, en este caso se entiende impl�citamente que existe un elemento dentro del universo donde se est� trabajando ([AL]).

Lo que sigue se basa en . Consideremos ahora un resultado sobre los n�meros naturales. Sabemos que, son un sistema que tiene un inicio, no tiene fin y cada miembro tiene un siguiente. Y, existe una suma, un producto, los cuales tiene alguna relaci�n con la idea "de siguiente" o "de sucesor".

M�s precisamente, los n�meros naturales son elementos del conjunto , el cual est� dado por los siguientes hechos. Existe una funci�n inyectiva �(sucesor o siguiente) tal que:

1.         �consta de un solo elemento, que denotaremos.

2.         Si �y se tiene que �y , luego se tiene que .

Ahora bien, de lo anterior se coligen los siguientes hechos: ��o tambi�n que . Tratemos de observar en que sentido se da, por ejemplo, la primera afirmaci�n. En efecto, con el prop�sito de manejar mejor la definici�n de funci�n debemos decir que �significa que, �y

Bajo estas condiciones, si , como existe �tal que �y este �es �nico para el , podemos poner �As�, . De donde se sigue que . As� �Ahora, si tratamos de justificar formalmente, como se transforma la f�rmula anterior (1) en , que dir�amos?

Podr�amos decir que la unicidad nos permite nombrar al elemento en cuesti�n de cierta manera, donde se note la dependencia del elemento para el cual es �nico. Por decirlo de alguna manera, suprimir el cuantificador existencial de la oraci�n. Esto es: Si tenemos,

definiendo �: , podemos concluir que , luego, . Evidentemente, esta es una frase reducida, donde se sobre entiende la unicidad. En fin, estos movimientos de s�mbolos deben ser precisados. En estas lineas solo hacemos ver su necesidad.

Por otro lado, para analizar la �ltima formula , tenemos que, desde la teor�a de conjuntos (informal) la Afirmaci�n 1 implica que:

De donde, en particular el contra reciproco es,

si tomamos una� variable , se tiene que

En forma general, si , con �una proposici�n con sustantivo , obtenemos . En nuestro caso, . Se deber�a hacer hincapi� en como eludimos el cuantificador universal, lo cual sin duda fue un paso importante, y luego como lo recuperamos.

Por �ltimo, para continuar con el estudio de como las f�rmulas se derivan unas de otras formalmente, esto es, con que l�gica, as� como analizar cu�les son las f�rmulas primitivas, veamos un �ltimo ejemplo.

Teorema 3.

Demostraci�n. Llamemos, �a la afirmaci�n . Ciertamente, est� afirmaci�n se debe probar por inducci�n. Esto es, para mostrar que , debemos probar que se da �y .

Veamos que se tiene . En efecto, como �y , se sigue que .
Ahora, veamos que . Tenemos que las siguientes f�rmulas se transforman en la que deseamos:

�          .

�          �(inyectividad de �)

A saber, de la primera f�rmula dada �una variable de , se tiene que . De donde por la segunda formula, . Por hip�tesis inductiva tenemos que , se sigue, por Modus Ponens, que . As�, se tiene que �. Por lo tanto

As� surge la necesidad de dar cuenta de l�gica con que se derivan estas f�rmulas y cu�les de ellas son axiomas. Sin embrago, se reitera la idea, de que la l�gica nace, en parte, considerando los juicios matem�ticos. Como si en una figura de yin yang, si vemos microsc�picamente la parte blanca encontramos negro, y de igual manera en la parte negra descubrimos blanco. Es decir, hay matem�tica en la l�gica y l�gica en la matem�tica.

C�lculo de Predicados Formal

Se ha tratado de introducir una forma particular de ver las matem�ticas. Vale la pena mencionar que estos problemas ya fueran abordados en la �poca de la crisis de los fundamentos de la matem�tica. Lo cual gener� un nuevo acto de conciencia. A saber, entre otras cosas, ser m�s cocientes del recorrido que hay de una verdad a otra.

Sabemos que de manera muy simplificada existen tres aspectos en el lenguaje de proposiciones con verbo copulativo "ser". El primer aspecto son sustantivos o t�rminos, tales como , etc. Se observa que en los mismos hay variables, constantes, operaciones como sumas, productos, etc. El segundo aspecto del lenguaje es los predicados, que junto con los t�rminos o sustantivos forman proposiciones, tales como . Adem�s, hay proposiciones con cuantificadores . El tercer aspecto del lenguaje son palabras que permiten conectar estas proposiciones para formar argumentos, oraciones m�s grandes y p�rrafos.

Vale la pena mencionar, una proposici�n, en este caso se llama f�rmula bien formadas (fbf), pues tiene una estructura m�s detallada que un simple enunciado, como los vistos en el primer cap�tulo, ya que intervienen operaciones, cuantificadores y predicados. Por ejemplo ��)), donde �puede ser una funci�n que opere ; y �predicados, como por ejemplo "mayor que�, �igual que", etc.

Ahora, es relevante a nuestro juicio, hacer notar como se define una fbf. B�sicamente, se parte de s�mbolos iniciales, potencialmente infinitos (no actualmente). Sobre este "conjunto de s�mbolos" se aplica un n�mero finito y determinado de leyes para formar cadenas de s�mbolos. As�, la definici�n es tal que una fbf puede ser verificada como tal, en un n�mero finito de pasos. Esta forma de definir se conoce como Definiciones por inducci�n generalizada (ver para m�s detalles [HA] o [ML]). Esta es una forma de proceder muy precavida, pues para el mencionado estudio se debe usar la matem�tica menos controversial, por ello, por decirlo de alguna forma, se discrimina al infinito actual y no numerable. Una opci�n para llevar a cabo este an�lisis es el Finitismo (para m�s informaci�n sobre este tema ver [LLF]). Por decirlo de alguna forma, es la parte considerada por muchos, como David Hilbert, como la m�s incuestionable de la matem�tica, la cual sirve de base para analizar matem�ticamente los lenguajes, que a su vez contribuye a garantizar la validez del formalismo, el cual pretende dar raz�n de toda la matem�tica [LLF]. Aunque, es sabido, por los axiomas de incompletitud de Kurt G�del que esta postura presenta problemas [HA]. Las definiciones por inducci�n generalizada tienen adem�s las ventajas de delimitar estrictamente qu� pertenece al "conjunto" o "noci�n". Adem�s, proporcionan una base para demostrar propiedades sobre los elementos del conjunto o noci�n [ML], como veremos a continuaci�n.

Bas�ndonos en el libro Hamilton A. G. [HA], tenemos los siguientes axiomas que dan cuenta de todos los movimientos v�lidos que podemos hacer en un lenguaje de primer orden. Los t�rminos que se usan en los axiomas ser�n detallados al finalizar los enunciados de estos.

Sean �f.b.f, se tiene que:

K1

K4�� Si �es una variable que no aparece libre en la proposici�n , se tiene que

K5� Si , es una fbf, con sustantivo , o que aparezca �en alg�n lugar, �es un termino libre del lenguaje, entonces se tiene que

K6 �no tienen intervenciones libres de la variable , entonces

MP (Modus Ponens): Si se da �y , luego se puede concluir .
G (Generalizaci�n): Si se tiene , simplemente admitiremos que es verdad que , para cualquier variable , aparezca o no en la formula .

Antes de aclarar los axiomas presentados y los t�rminos empleados en ellos, vale mencionar que, podr�a resultar notorio, que existe una sobre-generaci�n de f�rmulas. Es una consecuencia de la generalidad que se ha adquirido. Sin embargo, cuando se aplica para definir o indagar en cuestiones matem�ticas se ve su utilidad. Podr�a pensarse que es como una licuadora, si pones arena de mar y agua, te dar� un licuado indigerible; m�s, si pones frutas, ser� de utilidad. Se dice m�s, parecen demasiado evidentes algunas de los anteriores axiomas, pero en el fondo de las demostraciones son estos pasos simples los que se necesitan visibilizar.

Con respecto a K1, K2 y K3, son axiomas comunes a la l�gica de enunciados, los cuales implican las reglas citadas antes en la secci�n anterior 2.1. Para entender K4, debemos aclarar algunas cosas sobre cuando una variable aparece libre en una fbf. Para ello daremos algunas ideas no rigurosas. En efecto, es libre en alguna intervenci�n de una fbf si ning�n cuantificador le est� afectando o si no es la variable del cuantificador, por ejemplo: Sea �una variable del lenguaje, consideremos

la variable �es libre y �no es libre. En efecto, �est� en el cuantificador, el cual est� afectando a la f�rmula . Mientras que �es libre. Adicionalmente, observe que dada una variable �del lenguaje, la f�rmula de arriba es equivalente a . Consideremos otro ejemplo:

en este �ltimo caso, �en ninguna intervenci�n es libre (tiene tres intervenciones), sin embargo �en la primera intervenci�n de la izquierda es libre, pero en las intervenciones de la derecha no es libre.

Ahora, �cu�ndo una intervenci�n de una variable en un f.b.f est� libre para ser intercambiada por alguna otra o alg�n t�rmino diferente del lenguaje? Por ejemplo, es evidente que las dos siguientes f�rmulas son equivalentes �y . Es decir, el sentido no se altera. No as�, si compramos las f�rmulas �y , pues tienen significados diferentes. Por ejemplo, sea �una variable del lenguaje. Sea la proposici�n . Ciertamente, si reemplazamos �por , obtenemos , lo cual admitimos por hip�tesis que la anterior no est� significando lo mismo que la inicial, ya que por analog�a en cuestiones matem�ticas no significan lo mismo. Veamos un ejemplo diferente. Tomemos en cuenta la f�rmula . Es claro que en la f�rmula , en la cual es libre �y �y por tanto libre , en est� �ltima variable, si hacemos el cambio �por , la f�rmula expresar�a otro significado. A saber, declarar�a . As�, por . Por �ltimo, a modo de ejemplo formal, examinemos la f�rmula, donde �y �son s�mbolos de predicados.

aqu�, por ejemplo �no est� libre para . Sin embargo, �est� libre para . En la intervenci�n del lado derecho puedo reemplazar �por .

As�, aproximadamente se dice ([HA]), que un t�rmino �del lenguaje puede sustituirse en alguna intervenci�n libre de �en , siempre que en �no aparezcan interacciones con cuantificadores de A.

Ahora, si se desv�a la atenci�n a la f�rmula S2 de la Secci�n 3.1, entendemos que dicha f�rmula es avalada por el Axioma K5.

Por �ltimo, veamos algunos teoremas del sistema formal que estamos atendiendo.
Teorema 4. Sea �f�rmulas bien formadas del lenguaje y sea �un conjunto finito o vac�o de f�rmulas bien formadas. Si de las f�rmulas �se deduce la f�rmula , entonces de las f�rmulas �se deduce la f�rmula

Esta demostraci�n se realiza por inducci�n sobre el n�mero f�rmulas bien formadas en . Se observa que usamos la palabra conjunto y uni�n de manera ingenua, debido a que los conjuntos son finitos, definidos con poca controversia. La demostraci�n de este Teorema se detalla en [HA]. Aqu� solo se mostrar� el caso , dejando la lectura del teorema al lector acucioso, pues para realizarla se necesita otras definiciones que escapan del alcance del presente trabajo.

Demostraci�n.[Caso �] Se supone que �solo contiene una fbf. Por hip�tesis tenemos que �se deduce la f�rmula . Dados los axiomas de este sistema formal, la �nica posibilidad es que �sea un axioma, que �pertenezca a �o que �es , por tanto, se sigue que �es una fbf bajo este supuesto.

Teorema 5 (SH). Sean �y �tres f�rmulas bien formadas. Si tenemos como teoremas �y , se sigue como conclusi�n que

Demostraci�n.

(1)���� Supongamos �(con el prop�sito de concluir �).
(2)��� Tenemos por Hip�tesis:
(3)��� Tenemos por Hip�tesis:
(4)��� Por MP, 1 y 2 se tiene:

(5) Por MP, 3 y 4 se tiene:

As� se tiene que .

Teorema 6. Si x no aparece libre en , entonces de la f�rmula bien formada �se puede deducir la formula

Demostraci�n.
(1)�� Por hip�tesis:
(2)�� Por K4 o K5 (dependiendo si es libre �o no en B ) se tiene que
(3)�� Por (1), (2) y el Teorema 5 (SH), se tiene que
(4)�� Por el Axioma de generalizaci�n se tiene que

 

Conclusiones

La conclusi�n a la que se llega en este art�culo es que para dar cuenta de la matem�tica se debe analizar el lenguaje y formalizarlo. Para estudiar la l�gica de este �ltimo se debe usar t�cnicas finitistas, como definiciones por inducci�n generalizada y principios mayores. Este camino, es aprop�sito, el m�s recto que el autor han logrado vislumbrar, m�s seguramente no el �nico.

 

Referencias

1.      [HA] Hamilton A. G. (1978). Logic for mathematicians. CAMBRDGE UNIVERSITY PRESS.

2.      [AR] LIMA, Elon (1992), Curso de Analise, Volumen 1, Septima Edicion, Brazil, Instituto de Matematica Pura y Aplicada (IMPA), Projeto Euclides

3.      [GEB] Douglas R. Hofstadter (1979). GODEL ESCHER BACH: Un Eterno y Gr�cil Bucle. Traduci�n de Mario Arnaldo Usabiaga y Alejandro L�pez Rosusseau. TUSQUETS EDITORES, EEUU. Traducci�n: Mario Arnaldo Usabianga y Alejandro Lopez Rousseau. Consejo Nacional de Ciencia y Tecnolog�a. ISBN: 978-84-9066-069-0.

4.      [ML] Joseph R. Shoenfield (1967). MATHEMATICAL LOGIC. Addison-Wesley Series in Logic

5.      [SAA] Carlos Mart�n Collantes (1992). La Silog�stica Asert�rica de Arist�teles. Historia de la geometr�a griega. Actas. Seminario. Historia de la Ciencia. Seminario "Orotava" Historia de la Ciencia, 199-216.

6.      [ITC] Jos� M. Mu�oz Quevedo (2001). INTRODUCCION A LA TEORIA DE CONJUNTOS. UNIVERSDDAD NACIONAL DE COLOMBLA, Cuarta Edici�n.

7.      [LLF] Carlos Ivorra Castillo (2002). LA L�GICA DEL FINITISMO. https://www.uv.es/ivorra/Libros/LF.pdf.

8.      [VE] FRANKLIN GALINDO y KRIS MARTINS (2005). LAS REGLAS DE IRVING COPI Y CARL COHEN SON UNA CONDICI�N NECESARIA Y SUFICIENTE DE LA VALIDEZ EN LOS SILOGISMOS CATEG�RICOS DE FORMA EST�NDAR . EPISTEME NS, Vol. 25, № 1, 123-147.

9.      [AL] Jos� Alfredo Amor, (2004). LA ENSE�ANZA DEL AN�LISIS L�GICO. Facultad de Ciencias, UNAM, Curso, https://www.filosoficas.unam.mx/ Tdl/amor.htm.

 

� 2025 por los autores. Este art�culo es de acceso abierto y distribuido seg�n los t�rminos y condiciones de la licencia Creative Commons Atribuci�n-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA 4.0)

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