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El modelamiento matem�tico como estrategia del aprendizaje: estudio aplicado a la Transformada de Laplace

 

Mathematical modeling as a learning strategy: applied study of the Laplace Transform

 

A modela��o matem�tica como estrat�gia de aprendizagem: estudo aplicado � Transformada de Laplace

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Correspondencia: jorge.conza5938@utc.edu.ec

 

Ciencias de la Educaci�n

Art�culo de Investigaci�n

 

 

* Recibido: 29 de julio de 2024 *Aceptado: 11 de agosto de 2024 * Publicado: �09 de septiembre de 2024

 

        I.            Facultad de Ciencias Agropecuarias y Naturales, Carrera de Biotecnolog�a, Universidad T�cnica de Cotopaxi (UTC), Ecuador.

      II.            IMPTEK - Chova del Ecuador, Ecuador.

   III.            Facultad de Ciencias, Universidad Central del Ecuador, Ecuador.

Resumen

El art�culo propone al modelamiento matem�tico como una estrategia efectiva de ense�anza-aprendizaje de la Transformada de Laplace. La hip�tesis planteada refiere que el modelamiento matem�tico empleando un software de uso espec�fico, como Matlab y sus herramientas correspondientes, incrementa el nivel de aprendizaje significativo de la Transformada de Laplace, as� como la usabilidad de dicha transformada en el �mbito acad�mico e industrial. La investigaci�n se mantuvo bajo un enfoque mixto, emp�rico, con un dise�o experimental y pragm�tico. La poblaci�n de estudio se circunscribe al Distrito Metropolitano de Quito, con un total de 15 estudiantes pertenecientes al Instituto Superior Tecnol�gico Central T�cnico de la carrera en mec�nica industrial. La hip�tesis fue comprobada empleando la prueba T-Student y los resultados alcanzados muestran la factibilidad de aplicabilidad de la estrategia planteada. Los resultados dejan abierta la posibilidad de extrapolar esta metodolog�a de ense�anza a otras �reas de conocimiento.

Palabras clave: aprendizaje-significativo; did�ctica; modelamiento; t-student; Transformada-de-Laplace.

 

Abstract

The article proposes mathematical modeling as an effective teaching-learning strategy for the Laplace Transform. The hypothesis states that mathematical modeling using specific software, such as Matlab and its corresponding tools, increases the level of meaningful learning of the Laplace Transform, as well as the usability of said transform in the academic and industrial field. The research was carried out under a mixed, empirical approach, with an experimental and pragmatic design. The study population is limited to the Metropolitan District of Quito, with a total of 15 students belonging to the Instituto Superior Tecnol�gico Central T�cnico of the industrial mechanics career. The hypothesis was tested using the T-Student test and the results obtained show the feasibility of applicability of the proposed strategy. The results leave open the possibility of extrapolating this teaching methodology to other areas of knowledge.

Keywords: meaningful learning; didactics; modeling; t-student; Laplace Transform.

 

Resumo

O artigo prop�e a modela��o matem�tica como uma estrat�gia de ensino-aprendizagem eficaz para a Transformada de Laplace. A hip�tese proposta afirma que a modela��o matem�tica com recurso a software de uso espec�fico, como o Matlab e as suas ferramentas correspondentes, aumenta o n�vel de aprendizagem significativa da Transformada de Laplace, bem como a usabilidade da referida transformada no �mbito acad�mico e industrial. A investiga��o seguiu uma abordagem mista, emp�rica, com um desenho experimental e pragm�tico. A popula��o do estudo limita-se ao Distrito Metropolitano de Quito, com um total de 15 alunos pertencentes ao Instituto T�cnico Superior Tecnol�gico Central da carreira de mec�nica industrial. A hip�tese foi testada atrav�s do teste T-Student e os resultados alcan�ados mostram a viabilidade de aplicabilidade da estrat�gia proposta. Os resultados deixam em aberto a possibilidade de extrapolar esta metodologia de ensino para outras �reas do saber.

Palavras-chave: aprendizagem significativa; did�tica; modelagem; t-aluno; Transformada de Laplace.

 

Introducci�n

Es fundamental iniciar este escrito enmarcando el alcance e importancia de la matem�tica, ciencia que, para Vivas, (2018) tiene su g�nesis en la b�squeda permanente de una verdad, cualquiera sea esta; en tal virtud, existe una relaci�n simbi�tica con todas las dem�s �reas de conocimiento, como la econom�a, geograf�a, pero sobre todo se desea resaltar esta coexistencia de la matem�tica con la filosof�a. Todo esto se debe a que la matem�tica engloba a una gran de teor�as, tesis y axiomas que pueden explicar muchos aspectos de la vida real, y en t�rminos generales, nos permite comprender al universo.

Un modelamiento matem�tico implica una representaci�n abstracta de problemas reales mediante ecuaciones diversas. El modelamiento es un camino adecuado para disminuir las dificultades de an�lisis y comprensi�n de aspecto un tanto complejos. Es por este que el modelamiento matem�tico es muy �til y necesario para un adecuado aprendizaje de conceptos y funcionalidades en el �mbito industrial, laboral y social. En el presente estudio, se estudian, analizan y plantean formas de transformar problemas funcionales en ecuaciones matem�ticas, cuya resoluci�n impliquen mucha menor complejidad.

El objetivo de esta investigaci�n se sustent� en la necesidad de dise�ar una propuesta metodol�gica que permita demostrar la validez de emplear el modelamiento matem�tico para incrementar los niveles de comprensi�n y aprendizaje de la Transformada de Laplace (TL) en estudiantes de nivel tecnol�gico en �reas t�cnicas. La propuesta de soluci�n alcanzada recomienda el empleo de herramientas inform�ticas como Matlab, a fin de incrementar la velocidad, capacidad de resoluci�n de problemas diversos y la precisi�n de las soluciones alcanzadas.

N�tese que la Transformada de Laplace es �til para convertir ecuaciones diferenciales ordinarias en ecuaciones algebraicas de menor complejidad resolutiva (eliminando el uso de derivadas). Esto permite comprender, monitorear y evaluar el funcionamiento de sistemas din�micos complejos, los cuales est�n presentes en muchas �reas de la industria, lo que implica que, un concepto matem�tico aparentemente trivial, se torna fundamental en el desarrollo econ�mico y/o forma de vida de la sociedad. De ah� la importancia y relevancia de haber seleccionado este t�pico, como objeto de la presente investigaci�n.

La investigaci�n se efectu� sobre una poblaci�n espec�fica de estudio, a partir de la cual se establece una muestra no probabil�stica, la cual fue seleccionada en base de la experiencia del investigador y la factibilidad de acceso a la misma. Dicha muestra incluye a 15 estudiantes matriculados en el per�odo 2022-2023, quienes cursan la carrera de tecnolog�a en mec�nica industrial en el Instituto Superior Tecnol�gico Central T�cnico, ubicado en la provincia de Pichincha, cant�n Quito.

El estudio se ejecut� bajo una modalidad de investigaci�n aplicada, de tipo mixta, con un alcance correlacional y un dise�o experimental. La hip�tesis planteada sostiene que amalgamar el modelamiento matem�tico con el manejo de un software adecuado para resoluci�n de estos modelos como Matlab, permite incrementar el nivel de aprendizaje y entendimiento de los estudiantes. La encuesta fue empleada como un instrumento de recolecci�n de dato, misma que fue debidamente evaluada por expertos y valorada con un alfa de cronbach, cuya m�trica alcanz� un valor superior a 0,70.

Finalmente, es pertinente se�alar que el presente art�culo se estructura con varias secciones. Luego de la Introducci�n se presenta la Secci�n II, donde se consuma una aproximaci�n al estado del arte en el �mbito de ense�anza-aprendizaje de temas t�cnicos y matem�ticos. Posteriormente, la Secci�n III explica lo referente a la estrategia de ense�anza de la Transformada de Laplace empleando el modelamiento matem�tico; seguidamente, la secci�n IV expone la propuesta de ense�anza-aprendizaje generada en la presente investigaci�n. Finalmente, la secci�n V detalla las conclusiones, recomendaciones y trabajos futuros.

 

El aprendizaje de la Transformada de Laplace, de la teor�a al modelamiento matem�tico

Seg�n Mej�a et al., (2022), su investigaci�n experiment� la aplicaci�n de un test previo y uno posterior a la ense�anza de varios t�picos, su objetivo se sustentaba en el empleo del modelamiento matem�tico. Los resultados de evaluaci�n del aprendizaje fueron muy diferentes, evidenciando mejoras significativas en el uso del modelamiento matem�tico como herramienta de aprendizaje. Entonces concluyeron que �se considera que la Modelaci�n Matem�tica como estrategia did�ctica posibilita un aprendizaje m�s eficiente dado que conduce a establecer una conexi�n entre la matem�tica de la universidad y la matem�tica presente en situaciones cotidianas� (Mej�a, Gallo, & Quintana, 2022, p�g. 221).

En este punto, es importante introducir el constructo del aprendizaje significativo, mismo que aporta una novedosa alternativa en la formaci�n acad�mica y permite crear conocimientos s�lidos y duraderos sobre un determinado tema. El aprendizaje significativo usa indicadores de medici�n del nivel de aprendizaje, debido a que estos permiten valorar de forma objetiva y pragm�tica el nivel de conocimiento adquirido por el educando, as� como tambi�n, la capacidad de transferencia de conocimiento y de poder explicar lo aprendido (Moreira, 2019).

Los indicadores de logros de aprendizaje se estructuran con ciertos elementos como la coherencia interna para evitar inconsistencias estructurales con el objeto de evaluaci�n o con las estructuras sint�cticas-sem�nticas. La validez interpretativa que permite interpretar adecuadamente la relaci�n entre el indicador y el objeto evaluado. Y la comparabilidad, que permite evaluar a los procesos y no solamente resultados). Adem�s, se enmarcan en dimensiones y subdimensiones, conforme se ilustran en m�ltiples ejemplos citados en la Tabla 1.

 

Tabla 1:� Indicadores de logro

Nota: Elaborado por el autor, sobre la base de lo expuesto por Capote,�(2013).

 

A continuaci�n, se profundiza en el estudio de la Transformada de Laplace, misma que es una herramienta matem�tica ampliamente utilizada en el dise�o y an�lisis de controladores de tipo proporcional-integral-derivativo (PID), control de intercambiadores de calor, sistemas que act�an ante variaciones de frecuencia, sistemas conformados por resortes y amortiguadores, entre otros (L�zaro et al., 2017). De ah� la importancia y usabilidad en la representaci�n de circuitos el�ctricos y de sistemas mec�nicos; sin embargo, su empleo se puede extrapolar a otros �mbitos.

Seg�n Giacoleti & Cordero, (2019), la TL facilita la resoluci�n de cierto tipo de ecuaciones diferenciales; mientras que para �vila & J�uregui, (2007) la TL puede explicarse como una habilidad anal�tica y gr�fica. Por otro lado, Romo, (2014) se�ala que el papel de la TL es coadyuvar en el desarrollo de proyectos de ingenier�a y alta tecnolog�a. Estas afirmaciones se desprenden de la capacidad que proporciona la TL para convertir una se�al que est� en el dominio del tiempo, a una se�al en el dominio de la frecuencia. Sin embargo, es importante citar que su uso se limita al tratamiento de sistemas lineales, causales e invariantes en el tiempo.

De forma pragm�tica, la TL reduce una ecuaci�n diferencial ordinaria con coeficientes constantes, en simples expresiones algebraicas, cuya resoluci�n es mucho m�s sencilla; por tanto, se considera una transformaci�n integral a partir de la funci�n �que eval�a la variable , en el dominio del tiempo, hacia una funci�n �que eval�a el comportamiento de la variable , en el dominio de la frecuencia (Oppenheim, y otros, 1997); conforme lo expresa la Ec. 1, misma que computa una integral con l�mites 0 e ∞; es decir, �nicamente para funciones causales que no contemplan valores de tiempo menores que cero.

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d�nde:

�es la funci�n de dominio del tiempo que se desea transformar.

�es la funci�n de dominio de la frecuencia compleja resultante.

�es la variable compleja de frecuencia, que generalmente se expresa como , donde σ es la parte real y �es la parte imaginaria.

�denota el operador de Transformada de Laplace.

Con la finalidad de contextualizar de forma integral la usabilidad y caracter�sticas de la TL, seguidamente se ejemplifican sus propiedades y teoremas:

   1.      Linealidad:� Si�y �tienen TL �y � respectivamente. Si a y b son constantes, entonces la transformada de Laplace de la combinaci�n lineal �es igual a �(Oppenheim, y otros, 1997).

   2.      Desplazamiento en el dominio del tiempo: Si �tiene una TL �entonces la transformada de Laplace de �es igual a , donde "a" es una constante (Lathi, 1995).

   3.      Desplazamiento en el dominio de la frecuencia: Si �tiene una TL , entonces la transformada de Laplace de �es igual a , donde "a" es una constante (Haykin & Van Veen, 2000).

   4.      Derivaci�n en el dominio del tiempo: Si tiene una TL �entonces la transformada de Laplace de la derivada �es igual a �donde �es el valor inicial de �(Oppenheim, y otros, 1997).

   5.      Integraci�n en el dominio del tiempo: Si �tiene una TL �entonces la transformada de Laplace de la integral �es igual a �(Haykin & Van Veen, 2000).

   6.      Teorema de convoluci�n:� Dadas �con TL F�respectivamente, entonces la transformada de Laplace de su convoluci�n �est� dada por: . El teorema de convoluci�n establece que la convoluci�n en el dominio del tiempo es igual a la multiplicaci�n en el dominio de la frecuencia (Mathworks, 2023).����������������������������������������������������������������

 

Estrategia de ense�anza de la Transformada de Laplace

La estrategia propuesta en la presente investigaci�n, contempla la realizaci�n de ejercicios pr�cticos, como una metodolog�a que mejora significativamente la capacidad de aprendizaje y absorci�n de conocimiento por parte de los educandos. Inicialmente, se presente un ejemplo relacionado con la aplicaci�n de la TL en circuitos el�ctricos, seg�n detalle: Determinar la corriente �en un circuito simple L-R-C indicado en la Figura 1-a) si� �y si la tensi�n aplicada �es como se muestra en la Figura 1-b).

 

Figura 1. a) circuito R-L-C y b) Tensi�n E(t)

a)      �����������������������������������������������������������������������b)

 

Soluci�n tipo

Como el voltaje se anula para �entonces se puede escribir la siguiente funci�n escal�n:

Aplicando la segunda propiedad de traslaci�n se puede escribir:

Ahora reemplazando datos en la ecuaci�n:

Si

Multiplicando por 10s a la ecuaci�n y aplicando el teorema de traslaci�n para la transformada inversa, se tiene:

 

Propuesta de modelamiento matem�tico para el aprendizaje de la Transformada de Laplace

Se considera que el modelado matem�tico y la simulaci�n se han convertido en tareas centrales en todas las disciplinas de la ingenier�a y la ciencia, dado que son las �nicas t�cnicas disponibles que permiten analizar sistemas f�sicos con precisi�n y bajo condiciones experimentales variables (Cardona & Leal, 2020).

Otro aporte de la modelaci�n matem�tica considerado en este estudio es la mencionada por Salett-Biembengut, (2004) en la que se identifica como una actividad cient�fica que se relaciona con la obtenci�n de modelos para otras ciencias. De ah� la importancia de comprensi�n del modelado matem�tico, en este caso especialmente vinculado con la resoluci�n de circuitos el�ctricos.

El modelo identifica un conjunto de relaciones especificadas en variables que manifiestan la esencia de fen�menos estudiados. Un modelo matem�tico �es una estructura, donde �es el conjunto de las relaciones y �el conjunto de las variables (Brito‐Vallina et. al, 2011). En la Figura 2, se muestra el proceso del modelado matem�tico.

 

Figura 4: Proceso de modelado matem�tico

Nota: Elaborado por el autor sobre lo expuesto por Brito‐Vallina et. al, (2011).

 

Para solucionar el modelamiento matem�tico propuesto, fundamentalmente se considera a Matlab R, ya sea empleando scripts a trav�s de l�neas de c�digo o una programaci�n orientada a objetos y elementos, como lo es simulink (MathWorks, 2022).� En t�rminos generales, la estrategia y metodolog�a empleada para poner en pr�ctica los postulados de la presente investigaci�n, es explicada en la figura 3, misma que recopila los aspectos m�s relevantes de la propuesta dise�ada en este trabajo.

 

Figura 2: Proceso detallado de la metodolog�a de ense�anza empleada en la investigaci�n

 

Se programaron 12 horas de clases semanales durante tres semanas, se inici� con la explicaci�n del concepto de la Transformada de Laplace desde un punto de vista epistemol�gico, indicando el concepto y caracter�sticas principales del tema a abordar. Una vez finalizada la explicaci�n te�rica, se procedi� a aplicar un taller grupal para evaluar la comprensi�n del tema desarrollado.

Finalmente, las encuestas aplicadas a los estudiantes, posteriormente a la aplicaci�n de la metodolog�a de ense�anza basada en el modelamiento matem�tico de la TL, expresan lo siguiente:

-        El 66,7% refiere que tuvo dificultades para comprender la funcionalidad y aplicabilidad de la TL y que esta actividad demanda mucho esfuerzo.

-        El 93,3% se�al� que el uso de Matlab, mediante script y c�digos de l�nea torna m�s f�cil del aprendizaje de la TL, adem�s que el uso de herramientas inform�ticas permite contrastar resultados, simplificar la soluci�n y optimizar el tiempo requerido para el estudio y an�lisis.

-        El 86,7% se�al� que el uso de Simulink torna m�s f�cil del aprendizaje de la TL.

-        El 86,7% se�ala que el modelamiento matem�tico coadyuva significativamente en el aprendizaje de la TL.

En lo que refiere al aprendizaje significativo, los resultados de los test de evaluaci�n aplicados tanto al grupo de control como al grupo de seguimiento, conforme la informaci�n detallada en la tabla 2, se evidencia una diferencia significativa en su rendimiento, lo cual se acredita a la diferencia en la metodolog�a y estrategias de ense�anza aprendizaje.

 

Tabla 2: Resultados del aprendizaje significativo luego de aplicaci�n de test a grupos de investigaci�n

Nota: Resultados obtenidos luego de la aplicaci�n de test de verificaci�n del aprendizaje.

 

As� mismo, se verifica que, con un nivel de significancia del 5% y de confianza del 95%, es decir:� . Adem�s, el estad�stico de prueba T-Student debe cumplir determinados par�metros, entre ellos normalidad y homocedasticidad, para ello es necesario realizar dichos an�lisis. La normalidad arroj� los resultados expresados en la Tabla 3.

Tabla 3: Pruebas de normalidad

 

Conclusiones, recomendaciones y trabajos futuros

La investigaci�n realizada muestra resultados contundentes respecto a las diferencias en la consecuci�n del aprendizaje significativo, al usar o no, el modelamiento matem�tico. Adem�s, deja en evidencia que esta estrategia genera una comprensi�n s�lida de los principios fundamentales y la pr�ctica regular de la Transformada de Laplace, por lo qu�, la estrategia propuesta se constituye en una herramienta importante para que los docentes puedan mejorar su proceso de ense�anza y transferencia de conocimientos a sus estudiantes.

El empleo del software de programaci�n de alto nivel, Matlab, es muy recomendable para este tipo de procesos de ense�anza, puesto que es un software confiable, robusto y cuyas caracter�sticas permiten que sea operado desde filosof�as simples de uso de comandos de programaci�n, o tambi�n, empleando programaci�n modular, como es el caso de Simulink. Cualquiera sea el caso, la mayor�a de estudiantes se sintieron muy c�modos con el software.

La prueba de hip�tesis realizada a trav�s del estad�stico T-Student, muestra que este se constituye en una herramienta de evaluaci�n de las medias de uno o dos grupos mediante pruebas de hip�tesis. En especial, los resultados alcanzados generan confiabilidad, pues la investigaci�n se realiz� con una muestra reducida, menos de 30 individuos y con eventos independientes, cifras que son muy adecuadas para el empleo del estad�stico en menci�n. Por tanto, se puedo verificar y comprobar la hip�tesis planteada inicialmente.

 

Referencias

      1.            Alegre, M., & Silva, C. (2020). Las pr�cticas de ense�anza en la Educaci�n Superior: An�lisis did�ctico de las jornadas institucionales en el I.E.S. de Puerto Tirol � Chaco, Argentina. Revista de Estudios y Experiencias en Educaci�n, 287-304. doi:http://dx.doi.org/10.21703/rexe.20201939alegre17

      2.            �vila, J., & J�uregui, E. y. (2007). La modelaci�n matem�tica en la soluci�n de problemas con apoyo de ecuaciones diferenciales de primer orden. En Acta Latinoamericana de Matem�tica Educativa Vol. 20.

      3.            Capote, M. (2013). Dimensiones e indicadores para un aprendizaje y una ense�anza desarrolladora. Revista Mendive, ISSN 1815-7696, 5(42), 1-7. Obtenido de https://mendive.upr.edu.cu/index.php/MendiveUPR/article/view/591

      4.            Cardona, J., & Leal, J. y. (2020). Modelado matem�tico de caja blanca y negra en educaci�n en ingenier�a. Formaci�n universitaria, versi�n on-line ISSN 0718-5006, Vol. 13(6), 105-118.

      5.            Franco-Crespo, A. (2016). La brecha entre el perfil de salida del bachillerato y los perfiles de entrada de las universidades en Ecuador. VI Conferencia Latinoamericana sobre el abandono en la educaci�n superior. Obtenido de https://core.ac.uk/download/pdf/234020665.pdf

      6.            Giacoleti-Castillo, F., & Cordero, F. (2019). Usos y significados de la transformada de Laplace en una comunidad de ingenieros electr�nicos. Comite Latinoamericano de Matem�tica Educativa, 429-438. Obtenido de http://funes.uniandes.edu.co/14079/1/Giacoleti2019Usos.pdf

      7.            Haykin, S., & Van Veen, B. (2000). Signals and Systems. Acid Free Paper. Obtenido de https://studentshubblog.files.wordpress.com/2014/12/signals-and-systems-simon-haykin.pdf

      8.            Lathi, B. (1995). Principles of Linear Systems and Signalsde. Berkeley Cambridge Press. Obtenido de https://pce-fet.com/common/library/books/19/5189_[B._P._Lathi]_Signal_Processing_and_Linear_Systems(b-ok.org).pdf

      9.            L�zaro, H., Melgarejo, G., Montoro, E., Obreg�n, J., & Vidal, J. y. (2017). Aplicaci�n de la transformada de Laplace a circuitos. Revista del Instituto de Investigaci�n FIGMMG-UNMSM, 19(38). Obtenido de https://revistasinvestigacion.unmsm.e, 36-43.

  10.            Loor, J. (2022). Dise�o de una gu�a metodol�gica para la implementaci�n de recursos did�cticos digitales desarrollados en MatLab para el proceso de ense�anza-aprendizaje de la F�sica por parte de los docentes del �rea deCiencias Exactas del ISTCT. Quito: PUCE. Obtenido de http://repositorio.puce.edu.ec/bitstream/handle/22000/19962/Loor%20Bautista%20-%20Tesis.pdf?sequence=1&isAllowed=y

  11.            MathWorks. (2022). MATLAB. Obtenido de MathWorks: https://la.mathworks.com/products/matlab.html

  12.            Mathworks. (2023). Obtenido de https://la.mathworks.com/discovery/convolution.html

  13.            Mej�a, L., Gallo, C., & Quintana, D. (2022). La modelaci�n matem�tica como estrategia did�ctica para la resoluci�n de problemas matem�ticos. 2204-2218. doi:https://doi.org/10.33996/revistahorizontes.v6i26.485

  14.            Moreira, M. (2019). Textos de apoyo al profesor de f�sica. R�o Grande do Sul: Instituto de F�sica de la UFRGS, 30 (3) ISSN 2448-0606.

  15.            Oppenheim, A., Buck, J., Daniel, M., Willsky, A., Hamid, S., & Singer, A. (1997). Signals & Systems. Prentice Hall. Obtenido de http://www2.fisica.unlp.edu.ar/~jarne/Clases-EET-N2/Sistemas_de_comunicaciones/Oppenheim%20Segnales%20y%20Sistemas.pdf

  16.            Rodr�guez, M., Zoraida, L., & S�nchez, R. (2020). Modelizaci�n matem�tica y GeoGebra en la formaci�n de profesionales de la educaci�n Mathematical modelling and GeoGebra in the training of education professionals. Dialnet, 89-105. doi:http://dx.doi.org/10.23925/2237-9657.2020.v9i3p089-105

  17.            Romo-V�squez, A. (2014). La modelizaci�n matem�tica en la formaci�n de ingenieros. Educaci�n matem�tica, 314-338.

  18.            Salett-Biembengut, M. y. (2004). Modelaci�n matem�tica y los desaf�os para ense�ar matem�tica . Educaci�n Matem�tica, vol. 16 (2), 105-125.

  19.            Vivas, M. (2018). Las matem�ticas, algunas aplicaciones y su importancia. Matem�tica-FCNM ESPOL, Vol. 16 (1), .

 

 

 

 

� 2024 por los autores. Este art�culo es de acceso abierto y distribuido seg�n los t�rminos y condiciones de la licencia Creative Commons Atribuci�n-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA 4.0)

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